Cours convertisseur Boost
Fig. 1.20 – Caractéristiques de sortie
1.3.2 Convertisseur boost
1.3.2.1 Principe
Le principe d’un tel convertisseur est d’assurer la fluence d’énergie entre une source de courant continu, et une source de tension continue, ainsi que présenté Fig. 1.21
Fig. 1.21 – Convertisseur boost
Par un tel convertisseur, on cherche à fixer une tension moyenne <Us > en sortie du convertisseur, qui réponde aux critères suivants:
– <Us >> Ue
– <Us > réglable ((à souhait)) dans la fourchette donnée ci-dessus.
1.3.2.2 Structure
Cellule de commutation La structure du hacheur élévateur (boost) est constituée d’une seule cellule de commutation, ainsi que représenté Fig. 1.22.
Par les mécanismes de mise en conduction et de blocage des deux interrupteurs, deux états sont possibles, ainsi que cela est illustré Fig. 1.23.
– K1 passant et K2 bloqué. Les conditions de fonctionnement sont les suivantes:
Fig. 1.22 – Structure du hacheur élévateur
Fig. 1.23 – Grandeurs électriques caractéristiques du boost
( Ue = Us
(1.44)
Is = Ie
– K1 bloqué et K2 passant. Les conditions de fonctionnement sont les suivantes:
( Ue = 0
(1.45)
Is = 0
Caractéristique statique des interrupteurs et commutation Nous considérons des sources de courant et de tension qui sont respectivement unidirectionnelles en tension et en courant.
En regard de la représentation Fig. 1.22, on peut écrire:
(1.46)
Suivant les états respectifs des deux interrupteurs, on peut donc écrire:
K1 passant et K2 bloqué K1 bloqué et K2 passant
( UK2 = Us ((1.47)
IK1 = Ie
On démontre ainsi que deux segments suffisent pour les caractéristiques statiques des interrupteurs K1 et K2, ainsi que nous le représentons Fig. 1.24 .
Fig. 1.24 – Caractéristiques statiques
Nous donnons également Fig. 1.24 les mécanismes de commutation des interrupteurs:
– amorc¸age de K2 : le sens de parcours des trajectoires suivies dans les plans (UKi,IKi) est défini par les flèches notées Am.
Lorsque K2 est bloqué, celui–ci supporte la tension Us, alors que K1, à l’état passant, conduit le courant Ie.
L’amorc¸age de K2 ne sera effectif que lorsque l’interrupteur K1 supportera une tension ?Us. Il est impossible, dans le plan (UK1,IK1), d’obtenir une trajectoire qui traverse le quadrant UK1IK1< 0. Le blocage de K1 ne peut donc se faire qu’en longeant les axes de la caractéristique statique de K1. Ceci définit une commutation spontanée: annulation du courant dans K1, puis application d’une tension inverse (négative). Le processus de commutation est donc le suivant:
• commutation du courant de K1 vers K2. Pendant cette phase, la tension reste nulle aux bornes de K1, et vaut toujours Us aux bornes de K2.
• la tension aux bornes de K2 s’effondre, alors qu’une tension inverse s’établit aux bornes de K1.
Au contraire de K1, la commutation de K2 traverse le quadrant UK2IK2> 0, ce qui est caractéristique d’une commutation commandée.
Il s’agit donc d’un amorc¸age commandé de K2 qui entraˆ?ne le blocage spontané de K1.
– blocage de K2 : le sens de parcours des trajectoires suivies dans les plans (UKi,IKi) est défini par les flèches notées Bl.
Lorsque K2 est amorcé, celui–ci conduit le courant Ie, alors que K1, à l’état bloqué, supporte une tension ?Us.
Le blocage de K2 ne sera effectif que lorsque l’interrupteur K1 assumera l’intégralité du courant Ie. Il est impossible, dans le plan (UK1,IK1), d’obtenir une trajectoire qui traverse le quadrant UK1IK1< 0. L’amorc¸age de K1 ne peut donc se faire qu’en longeant les axes de la caractéristique statique de K1. Ceci définit une commutation spontanée: annulation de la tension inverse aux bornes de K1, puis établissement du courant. Le processus de commutation est donc le suivant:
• la tension aux bornes de K1 s’annule, alors qu’une tension aux bornes de K2 s’établit,
• commutation du courant de K2 vers K1. Pendant cette phase, la tension reste nulle aux bornes de K1, et vaut toujours Us aux bornes de K2.
Lors de cette phase, la commutation de K2 traverse le quadrant UK2IK2> 0, ce qui est caractéristique d’une commutation commandée.
Il s’agit donc d’un blocage commandé de K2 qui entraˆ?ne l’amorc¸age spontané de K1.
Synthèse Outre la définition de la structure de base d’un hacheur élévateur ((un quadrant)), nous venons de mettre en évidence deux points importants.
Le premier est relatif à la nature des commutations au sein de la cellule constituée par K1 et K2 : l’amorc¸age et le blocage commandés de K2 entraˆ?nent respectivement le blocage et l’amorc¸age spontanés de K1. Nous venons ainsi de définir une structure apte à fonctionner en commutation naturelle.
Le second est relatif aux natures de interrupteurs K1 et K2 :
– Interrupteurs K1 : cet interrupteur doit supporter une tension inverse, et doit pouvoir conduire un courant positif. En outre, son amorc¸age et son blocage peuvent
être spontanés.
Cet interrupteur sera donc de type diode.
– Interrupteur K2 : cet interrupteur doit supporter une tension positive, et doit pouvoir conduire un courant positif. En outre, toutes les commutations de cet interrupteur doivent être commandées.
Cet interrupteur pourra donc être de type transistor (bipolaire, MOS, IGBT ou GTO).
Nous sommes ainsi en mesure de définir plus précisément la structure d’un hacheur abaisseur, que nous donnons Fig. 1.25.
Fig. 1.25 – Hacheur élévateur
Sur cette représentation, l’interrupteur commandé à l’amorc¸age et au blocage est un IGBT (noté T). Ses commutations commandées entraˆ?neront les commutations spontanées de la diode D.
1.3.2.3 Relations fondamentales
Afin de définir les relations fondamentales qui régissent le fonctionnement d’un hacheur abaisseur, nous nous référons au schéma Fig. 1.26.
Fig. 1.26 – Hacheur élévateur et sa ((charge))
Rien n’est fondamentalement changé par rapport au schéma proposé Fig. 1.21. Nous avons simplement précisé les natures des sources de courant et de tension, sachant que dans le présent contexte, nous nous attachons au transfert d’énergie de la source de courant vers la source de tension:
– source de courant: cette source fournit de la puissance. Nous avons donc choisi de la représenter par un générateur de tension Uei(type batterie par exemple), en série duquel nous avons placé une inductance pour conférer à l’ensemble le caractère source de courant requis. La tension imposée au convertisseur par cette source est la tension Ue.
– source de tension: cette source est la charge. Elle comprend une résistance (charge continue type), en parallèle de laquelle on place un condensateur pour conférer à l’ensemble le caractère source de tension requis.
Ce type de source de courant est en effet la charge ((type)) d’un hacheur élévateur. Les formes d’ondes des courant et tensions dans le convertisseur, ainsi que dans sa charge sont données à titre d’illustration Fig. 1.27.
250
200
150
100 50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t (s) x 10?4 t (s) x 10?4
Fig. 1.12(a) Tensions Fig. 1.12(b) Courants
Fig. 1.27 – Grandeurs caractéristiques
Suivant les états respectifs des interrupteurs T et D, la tension Ue vaut Uso (200V ) ou bien 0V , et est par conséquent constituée de créneaux. On notera le rapport 2 entre la tension Uei et la tension Uso, ce qui justifie le qualificatif ((élévateur)) de ce convertisseur.
Pour les courants, nous avons représenté Fig. 1.27:
– le courant Ie dans l’inductance Le : Ce courant est constitué d’une valeur moyenne, ainsi que d’une ondulation autour de cette valeur moyenne.
– le courant Iso dans la résistance de charge Rs, dont on peut considérer l’ondulation résiduelle comme parfaitement négligeable devant la valeur moyenne. Le condensateur Cs a en effet été dimensionné pour cela, suivant un critère que nous définirons ultérieurement.
On notera également le rapport 2 existant entre la valeur moyenne de Ie et Iso.
– le courant dans le transistor T : lorsque celui–ci est passant, alors It = Ie. Cette phase correspond à la phase de croissance du courant dans l’inductance Le.
– le courant dans la diode D: lorsque celle–ci est passante, alors Ie = Id = Is. Cette phase correspond à la phase de décroissance de courant dans l’inductance Le.
Dans le cadre du fonctionnement d’un hacheur élévateur tel que nous l’avons illustré, nous pratiquerons les hypothèses de travail suivantes afin de déterminer les relations fondamentales qui en régissent le fonctionnement:
– on considère la période de commutation T des interrupteurs largement inférieure à la période To de résonance du circuit constitué par Le et Cs lorsque le transistor T est passant.
(1.48)
– on considère que l’ondulation ˜iso du courant dans la résistance Rs est négligeable devant <Iso >.
– en régime permanent, la composante moyenne <Ics > du courant dans le condensateur Cs est nulle. Par conséquent, et compte tenu des hypothèses précédentes:
<Is >= Iso et Ics = ˜is.
– on considère que les ondulations de la tension Uso sont négligeables devant sa valeur moyenne. Ainsi, pour la tension de sortie, nous considérerons que Us = Uso =<Us >.
On doit souligner que ces hypothèses de travail ne sont quasiment pas restrictives, car le dimensionnement des éléments de ce convertisseur permet d’agir dans le sens du respect de ces hypothèses, qui sont souvent des critères de dimensionnement.
Valeur moyenne deUs Afin de déterminer l’expression de la valeur moyenne de la tension en sortie du hacheur élévateur, nous nous référons au schéma Fig. 1.28.
Nous avons représenté la tension Ul aux bornes de l’inductance, ainsi que les variations du courant Ie qui la traverse. On définit D le rapport cyclique, comme le rapport entre la durée d’amorc¸age du transistor et la période de commutation du convertisseur T.
La tension Ul dépend de la phase de fonctionnement du convertisseur considérée:
– pendant DT : Ul = Uei,
– pendant (1 ? D)T : Ul = Uei ? Uso
On peut ainsi calculer l’expression <Ul > de la valeur moyenne de Ul :
Fig. 1.28 – Tension Ul aux bornes de l’inductance Le
(1.49)
En régime permanent, la tension moyenne aux bornes de l’inductance Le est nulle. Par conséquent:
<Ul >= 0 =? (1.50)
Une telle relation illustre la nature ((élévateur)) du convertisseur considéré. Le rapport cyclique pouvant varier de 0 à 1, la tension Uso en sortie peut varier de Uei à l’infini. Il est bien entendu que ce dernier cas peut s’avérer ((problématique)) pour le dimensionnement du convertisseur: il faudrait trouver la diode et le transistor capables de tenir une tension infinie!
Malgré cette restriction (qui peut rendre un tel convertisseur difficile à commander), le hacheur élévateur permet donc, graˆce à la valeur du rapport cyclique D d’obtenir en sortie une tension nettement plus élevée que celle appliquée en son entrée.
Courant en sortieIso Les courants en sortie du convertisseur Is et Iso sont représentés Fig. 1.29.
On distingue deux phases bien distinctes:
– Transistor T amorcé: pendant une durée DT, la diode D est bloquée. Le courant Is est donc nul.
Fig. 1.29 – Courant en sortie du convertisseur
– Transistor T bloqué: pendant une durée (1 ? D)T, la diode D est enclenchée afin d’assurer la continuité du courant dans l’inductance Le. Par voie de conséquence: Ie = Is.
En négligeant l’ondulation du courant Ie devant les valeurs moyennes considérées, on peut écrire:
(1.51)
=?
ou encore
On notera que cette relation est duale à celle définissant la tension moyenne en sortie du convertisseur (1.50).
Si le convertisseur boost est élévateur de tension, il est également abaisseur de courant. A l’instar du convertisseur buck, la comparaison avec un transformateur est également totalement justifiée: le rapport de transformation serait dans le cas présent k = (1?D).
On démontre de même que, compte tenu des hypothèses de travail pratiquées (rendement de la cellule de commutation unitaire), la puissance en sortie UsoIso est identique à la puissance injectée en entrée Uei <Ie >.
Ondulation de la tensionUso Les hypothèses adoptées conduisent à négliger l’ondulation de la tension Uso, considérée minime devant les grandeurs continues. Nous devons cependant définir une relation qui permette de lier cette ondulation aux paramètres du convertisseur, afin d’être en mesure de dimensionner le condensateur pour justifier notre hypothèse de travail.
Pour définir l’ondulation ˜uso de la tension en sortie Uso, nous nous référons au schéma Fig. 1.30.
Fig. 1.30 – Ondulation de la tension de sortie
Compte tenu des hypothèses de travail adoptées, on peut décomposer le courant Is en une composante moyenne <Is > et une composante continue ˜is, telles que:
? <Is >= Iso
Is =<Is > +˜is avec ?? (1.52)
?? ˜is = Ics
Ces propriétés sont représentées Fig. 1.30. Le courant Ics dans le condensateur est donc constitué de créneaux qui valent respectivement Ie ?Iso (pendant (1?D)T) et ?Iso (pendant DT). Les variation ˜uso de la tension de sortie sont définies par la relation:
(1.53) La tension dans Cs varie linéairement, ce qui permet d’écrire, sur la durée (1?D)T :
(1.54)
Ou` ?Uso représente l’amplitude des ondulations en sortie du convertisseur. Ces ondulations sont bien évidemment fonction des paramètres du système, mais également du rapport cyclique D. Nous proposons Fig. 1.31 les variations du rapporten fonction de D.
Fig. 1.31 – Ondulation de tension fonction de D
Lorsque les paramètres Rs, Cs, f et Ue sont fixés, l’amplitude des ondulations de Uso est d’autant plus grande que le rapport cyclique est élevé.
Pour fixer la valeur de ?Uso au moyen de Cs on devra donc travailler sur un ((pire cas)), en considérant la valeur maximale que peut prendre D. Cela conduit cependant à ((sur-dimensionner)) la capacité de Cs si le fonctionnement du convertisseur se fait à une valeur de D nettement en dessous de la valeur considérée lors du dimensionnement.
On notera cependant l’intérêt de choisir pour la fréquence de commutation f du convertisseur une valeur la plus élevée possible. Cela permet en effet de réduire d’autant la capacité du condensateur Cs.
Ondulation du courantIe Nous donnons Fig. 1.32 les représentations de la tension Ul aux bornes de l’inductance Le, ainsi que des variations ˜ie du courant Ie autour de sa valeur moyenne.
Fig. 1.32 – Ondulation de courant dans l’inductance Le
Compte tenu des hypothèses de travail adoptées, les variations ˜ie sont linéaires:
– pendant DT : le transistor T est amorcé. La tension aux bornes de Le vaut Ue. Cette phase correspond à la croissance du courant dans l’inductance.
– pendant (1 ? D)T : la diode D est amorcée. La tension aux bornes de Le vaut Uei ? Uso. Nous avons démontré précédemment que Uso > Uei. Par conséquent, la tension Ul est négative, ce qui correspond à la décroissance du courant dans l’inductance.
Pendant la phase ou` Ul est positive, on peut écrire:
(1.55)
Ou` ?Ie est l’amplitude des ondulations du courant Ie. Il vient donc:
(1.56)
Les ondulations du courant Ie sont ainsi directement proportionnelles au rapport cyclique D. Pour dimensionner Le, on aura donc soin de considérer la valeur maximale que peut prendre D, afin que ?Ie ne dépasse jamais la valeur prescrite. On prendra en compte l’influence de la fréquence de commutation f, que l’on choisira la plus élevée possible: cela permet de réduire avec bénéfice la valeur de Le permettant de fixer ?Ie.
Régimes de conduction A l’instar du convertisseur buck, le convertisseur boost est caractérisé par trois régimes de fonctionnement distincts:
– conduction continue: le courant Ie ne s’annule jamais. Toutes les relations que nous venons d’établir se réfèrent à ce régime de fonctionnement,
– conduction critique: le courant s’annule ponctuellement lorsque, compte tenu de ses ondulations, sa valeur moyenne est telle que sa valeur minimale vaut zéro.
– conduction discontinue: le courant Ie prend une valeur nulle, pendant une durée supérieure à zéro.
Nous définirons dans un premier temps le régime de conduction discontinu. Ce fonctionnement est obtenu sous la condition suivante:
(1.57)
D’après la relation (1.51), il vient:
(1.58)
Ou` Isolim est la valeur limite de Iso pour laquelle on observe la conduction discontinue. Le report de (1.56) dans cette dernière équation donne la condition de fonctionnement en conduction critique:
(1.59)
Pour ce qui est de la conduction discontinue, nous nous référons au schéma Fig. 1.33. On distingue trois phases de fonctionnement:
Fig. 1.33 – Conduction discontinue
– pendant DT : le transistor est amorcé. La tension appliquée aux bornes de l’inductance Le vaut Uei. Cette phase correspond à la croissance du courant dans Le.
– pendant D0T : le transistor est bloqué, et la diode est amorcée. La tension appliquée aux bornes de l’inductance Le vaut Uei ? Uso. Comme Uso > Uei, cette tension est négative. Cette phase correspond donc à la décroissance du courant dans Le.
– pendant (1 ? D)T ? D0T : le courant s’est annulé dans l’inductance. Il s’est donc également annulé dans la diode D. Ceci est une condition de blocage pour la diode. Dans ce cadre, le courant est nul dans l’inductance Le, et le reste. Tous les interrupteurs étant bloqués, la tension Ul aux bornes de Le est également nulle.
La relation (1.50) liant Uso et Uei n’est donc plus applicable, et doit être ré-évaluée. La première étape consiste à lier les rapports cycliques D et D0 :
– Pendant DT :
(1.60)
– Pendant D0T :
(1.61)
D’ou` il vient:
(1.62)
La seconde étape consiste en l’évaluation du courant en sortie du convertisseur. Comme vu précédemment, nous savons que: Iso =< Is >. En outre, Is = Ie lorsque la diode D est passante (c’est–à–dire pendant D0T). D’après Fig. 1.33, il vient donc aisément:
(1.63)
On reporte les relations (1.60) et (1.62) dans cette expression:
(1.64)
A partir de cette relation, on isole le rapport pour obtenir:
(1.65)
Caractéristiques de sortie Nous possédons à présent tous les éléments qui permettent de définir les caractéristiques de sortie d’un hacheur élévateur, grâce aux relations:
– (1.50): valeur moyenne de la tension en sortie du convertisseur en conduction continue,
– (1.65): valeur moyenne de la tension en sortie du convertisseur en conduction discontinue,
– (1.59): condition de conduction critique.
Comme pour le convertisseur buck, nous introduisons les variables normalisées suivantes:
(1.66)
Si l’on re-formule les équations (1.50), (1.65) et (1.59) suivant cette définition, on obtient:
Conduction continue | |||
Conduction discontinue | |||
Conduction critique | =? |
(1.67)
Le tracés de ces relations en variables normalisées est donné Fig. 1.34, dans le plan (x,y), et pour plusieurs valeurs du rapport cyclique D.
Fig. 1.34 – Caractéristiques de sortie
On peut sur un tel graphique juger de l’évolution de la tension de sortie du convertisseur boost, suivant que l’on est ou non en mode de conduction continue. Il apparaˆ?t ainsi la nature ((difficile)) d’un tel convertisseur:
– en conduction continue la tension moyenne de sortie ne dépend que du rapport cyclique. Cependant, pour les valeurs élevées de D, la tension en sortie Uso peut prendre des valeurs théoriquement infinies, ce qui peut poser un problème de viabilité d’un tel montage,
– les conductions critiques et discontinues imposent de plus une dépendance vis–a`-vis du courant moyen Iso. Ceci peut limiter les possibilités de contrôle du convertisseur à faible charge.
– la conduction discontinue pose de plus un problème de divergence: la tension Uso peut croˆ?tre grandement, indépendamment de la valeur faible de D.
Ces éléments font du convertisseur boost un montage qui demande un contrôle précis.
1.3.3 Convertisseur buck–boost
1.3.3.1 Principe
Dernier convertisseur de la famille des convertisseurs DC/DC ((un quadrant)), le convertisseur buck–boost est également appelé abaisseur–élévateur par son aptitude à fournir une tension plus faible, ou plus élevée que celle appliquée en son entrée. Ceci dépend de la valeur du rapport cyclique.
La représentation ((un peu particulière)) de ce convertisseur est donnée Fig. 1.35.
Fig. 1.35 – Convertisseur buck–boost
Nous attirons d’emblée l’attention sur une infraction manifeste à une règle établie en première partie de ce cours: un convertisseur direct ne peut mettre en relation deux sources de même nature. La représentation donnée Fig. 1.35 appelle donc à juste titre quelques précisions:
– une telle représentation est justifiée dans le sens ou` le convertisseur DC/DC comporte ((en interne)) une source de courant telle que, quelle que soit la configuration résultante d’une commutation, les sources de tension d’entrée et de sortie ne sont pas reliées directement. Ceci sera développé ultérieurement.
– dans la mesure ou` l’on définit le buck–boost comme un convertisseur élévateur– abaisseur, le meilleur moyen d’illustrer cela revient à la représentation Fig. 1.35.
Nous insistons cependant sur le fait de l’existence, en interne au convertisseur, d’une source de courant permettant de ne pas connecter directement les deux sources de tension Ue et Us.
Par un tel convertisseur, on cherche à fixer une tension moyenne <Us > de sortie qui réponde aux critères suivants:
– <Us >< Ue ou bien <Us >> Ue,
– <Us > réglable à souhait dans l’une des deux fourchettes définies ci–dessus, sachant que l’on doit pouvoir passer sans discontinuité d’une fourchette à l’autre.
1.3.3.2 Structure
Cellule de commutation La représentation de la structure d’un convertisseur buck– boost qui fait apparaˆ?tre le plus clairement la cellule de commutation ainsi que nous l’avons représentée jusqu’à présent est donnée Fig. 1.36(a).
Fig. 1.36(a) Représentation 1 Fig. 1.36(b) Représentation 2
Fig. 1.36 – Structures de base d’un convertisseur buck–boost
Les deux interrupteurs K1 et K2 forment effectivement une cellule de commutation, dans la mesure ou` leur fonctionnement doit obligatoirement être complémentaire. Il n’est cependant pas habituel de représenter la structure d’un buck–boost de telle manière. La représentation communément utilisée est celle donnée Fig. 1.36(b).
Cette dernière représentation fait clairement apparaˆ?tre une topologie telle que celle définie en préambule (Fig. 1.35). A ce sujet, nous insistons sur la source de courant Il que nous avons placée au sein du convertisseur. Comme énoncé précédemment, nous définissons un convertisseur direct. En ce sens, les source Ue et Us ne doivent à aucun moment être mises directement en relation. Ceci est réalisé graˆce à la source Il : quels que soient les états de K1 et K2, Us et Ue ne seront jamais mises directement en parallèle.
Caractéristiques statiques des interrupteurs et commutation Afin d’établir les règles liées aux commutations au sein de la structure Fig. 1.36(b), nous considérerons que:
– les sources de tensions Ue et Us sont unidirectionnelles en courant,
– la source de courant Il est bidirectionnelle en tension, mais non réversible en courant. Le courant Il ne peut donc être que positif.
Deux configurations sont possibles, suivant les états respectifs de K1 et K2 :
– K1 passant, K2 bloqué. Les interrupteurs K1 et K2 sont donc caractérisés par les relations:
??? UK1 = 0 ??? UK2 = ?Ue ? Us
et (1.68)
?? IK1 = Il ?? IK2 = 0
– K1 bloqué, K2 passant. Les interrupteurs K1 et K2 sont donc caractérisés par les relations:
? UK1 = Ue + Us ? UK2 = 0
?? et ?? (1.69)
?? IK1 = 0 ?? IK2 = Il
Fig. 1.37 – Caractéristiques statiques
On démontre ainsi que deux segments suffisent pour les caractéristiques statiques de K1 et K2 qui pourront être, respectivement, un transistor et une diode. Ceci est représenté Fig. 1.37.
Nous avons également représenté Fig. 1.37 les mécanismes de commutation des interrupteurs:
– Amorc¸age de K1 : le sens de parcours des trajectoires suivies dans le plan (UKi,IKi) est défini par les flèches notées Am.
Lorsque K1 est bloqué, celui–ci supporte une tension UK1 = Ue + Us alors que K2, à l’état passant, conduit le courant Il.
L’amorc¸age de K1 ne sera effectif que lorsque l’interrupteur K2 supportera une tension ?Ue?Us. Il est impossible, dans le plan (UK2,IK2), d’obtenir une trajectoire qui traverse le quadrant UK2IK2< 0. Le blocage de K2 ne peut donc se faire qu’en longeant les axes de la caractéristique statique de K2. Ceci définit une commutation spontanée: annulation du courant dans K2, puis application d’une tension inverse (négative). Le processus de commutation est donc le suivant:
• commutation du courant de K2 vers K1. Pendant cette phase, la tension reste nulle aux bornes de K2, et vaut toujours Ue + Us aux bornes de K1.
• la tension aux bornes de K1 s’effondre, alors qu’une tension inverse aux bornes de K2 s’établit.
Au contraire de K2, la commutation de K1 traverse le quadrant UK1IK1> 0, ce qui est caractéristique d’une commutation commandée.
Il s’agit donc d’un amorc¸age commandé de K1 qui entraˆ?ne le blocage spontané de K2.
– blocage de K1 : le sens de parcours des trajectoires suivies dans les plans (UKi,IKi) est défini par les flèches notées Bl.
Lorsque K1 est amorcé, celui–ci conduit le courant Il, alors que K2, à l’état bloqué, supporte une tension ?Ue ? Us.
Le blocage de K1 ne sera effectif que lorsque l’interrupteur K2 assumera l’intégralité du courant Il. Il est impossible, dans le plan (UK2,IK2), d’obtenir une trajectoire qui traverse le quadrant UK2IK2< 0. L’amorc¸age de K2 ne peut donc se faire qu’en longeant les axes de la caractéristique statique de K2. Ceci définit une commutation spontanée: annulation de la tension inverse aux bornes de K2, puis établissement du courant. Le processus de commutation est donc le suivant:
• la tension aux bornes de K2 s’annule, alors qu’une tension aux bornes de K1 s’établit,
• commutation du courant de K1 vers K2. Pendant cette phase, la tension reste nulle aux bornes de K2, et vaut toujours Ue + Us aux bornes de K1.
Lors de cette phase, la commutation de K1 traverse le quadrant UK1IK1> 0, ce qui est caractéristique d’une commutation commandée.
Il s’agit donc d’un blocage commandé de K1 qui entraˆ?ne l’amorc¸age spontané de K2.
Synthèse Outre la définition de la structure de base d’un hacheur buck–boost ((un quadrant)), nous venons de mettre en évidence trois points importants.
Le premier est relatif à la nature des commutations au sein de la cellule constituée par K1 et K2 : l’amorc¸age et le blocage commandés de K1 entraˆ?nent respectivement le blocage et l’amorc¸age spontanés de K2. Nous venons ainsi de définir une structure apte à fonctionner en commutation naturelle.
Le second est relatif aux natures des interrupteurs K1 et K2 :
– Interrupteur K1 : cet interrupteur doit supporter une tension positive, et doit pouvoir conduire un courant positif. En outre, toutes les commutations de cet interrupteur doivent être commandées.
Cet interrupteur pourra donc être de type transistor (bipolaire, MOS, IGBT ou GTO).
– Interrupteurs K2 : cet interrupteur doit supporter une tension inverse, et doit pouvoir conduire un courant positif. En outre, son amorc¸age et son blocage peuvent
être spontanés.
Cet interrupteur sera donc de type diode.
Le troisième est relatif au dimensionnement des interrupteurs:
– courants IKi : ce courant est fixé par la source de courant Il,
– tensions UKi . au contraire des convertisseurs précédemment étudiés, les tensions que doivent pouvoir ((tenir)) K1 et K2 ne sont pas fixées par la valeur de l’une ou l’autre des sources Ue et Us, mais par la somme des deux:
• K1 doit pouvoir bloquer une tension Ue + Us,
• K2 doit pouvoir bloquer une tensions ?Ue ? Us.
Nous sommes ainsi en mesure de définir plus précisément la structure d’un convertisseur buck–boost, que nous donnons Fig. 1.38.
Sur cette représentation, l’interrupteur commandé à l’amorc¸age et au blocage est un IGBT (noté T). Ses commutations commandées entraˆ?neront les commutations spontanées de la diode D.
1.3.3.3 Relations fondamentales
Afin de définir les relations fondamentales qui régissent le fonctionnement d’un hacheur buck–boost, nous nous référons au schéma Fig. 1.39.
Fig. 1.38 – Convertisseur buck–boost
Fig. 1.39 – hacheur buck–boost et sa ((charge))
Rien n’est fondamentalement changé par rapport au schéma proposé Fig. 1.38. Nous avons simplement précisé les natures des sources de courant et de tension, sachant que dans le présent contexte, nous nous attachons au transfert d’énergie de la source de tension Ue vers la source de tension Us :
– source de tension Ue : cette source fournit de la puissance. Nous avons donc choisi de la représenter par un générateur de tension parfait Ue (type batterie par exemple),
– source de tension Us : cette source est la charge. Par définition, la charge type de la conversion DC/DC est la résistance. Nous avons placé en parallèle de la résistance Rs la capacité Cs qui confère à l’ensemble le caractère source de tension requis,
– la source de courant Il : nous avons placé une l’inductance L. A l’échelle des commutations de T et de D, le caractère ((inertie de courant)) de L permet de conférer à cette dernière la nature source de courant requise.
Les formes d’ondes des courant et tensions dans le convertisseur, ainsi que dans sa charge sont données à titre d’illustration Fig. 1.40.
Suivant les états respectifs des interrupteurs T et D, la tension Ul aux bornes de L vaut Ue (100V ) ou bien Us (150V ), et est par conséquent constituée de créneaux. Dans l’exemple donné, on se trouve dans un cas ou` Us > Ue. Le buck–boost y est caractérisé dans sa nature élévatrice. Les formes d’ondes données auraient été cependant voisines si l’on avait choisi un fonctionnement en abaisseur.
Pour les courants, nous avons représenté Fig. 1.40:
– le courant Il dans l’inductance L: Ce courant est constitué d’une valeur moyenne, ainsi que d’une ondulation autour de cette valeur moyenne. Le fonctionnement du convertisseur est ainsi un fonctionnement en régime de conduction continue.
Fig. 1.40 – Grandeurs caractéristiques
– le courant dans le transistor T, qui est également le courant fourni par la source de tension Ue : lorsque T est passant, alors It = Ie = Il. Cette phase correspond à la phase de croissance du courant dans l’inductance L.
– le courant dans la diode D, qui est également le courant absorbé par la source de tension Us : lorsque D est passante, alors Id = Il = Is. Cette phase correspond à la phase de décroissance de courant dans l’inductance Le.
– le courant Iso dans la résistance de charge Rs, dont on peut considérer l’ondulation résiduelle comme parfaitement négligeable devant la valeur moyenne. Le condensateur Cs a en effet été dimensionné pour cela, suivant un critère que nous définirons ultérieurement.
Dans le cadre du fonctionnement d’un hacheur buck–boost tel que nous venons de l’illustrer, nous pratiquerons les hypothèses de travail suivantes afin de déterminer les relations fondamentales qui en régissent le fonctionnement:
– on considère la période de commutation T des interrupteurs largement inférieure à la constante de temps du circuit constitué par Cs et Rs lorsque le transistor T est passant.
– on considère que l’ondulation ˜iso du courant dans la résistance Rs est négligeable devant <Iso >.
– en régime permanent, la composante moyenne <Ics > du courant dans le condensateur Cs est nulle. Par conséquent, et compte tenu des hypothèses précédentes:
<Is >= Iso et Ics = ˜is.
– on considère que les ondulations de la tension Us sont négligeables devant sa valeur moyenne. Ainsi, pour la tension de sortie, nous considérerons que Us =<Us >. On pose: Us = Uso
On doit souligner que ces hypothèses de travail ne sont quasiment pas restrictives, car le dimensionnement des éléments de ce convertisseur permet d’agir dans le sens du respect de ces hypothèses, qui sont souvent des critères de dimensionnement.
Valeur moyenneUsodeUs Afin de déterminer l’expression de la valeur moyenne de la tension en sortie du hacheur élévateur, nous nous référons au schéma Fig. 1.41.
Nous avons représenté la tension Ul aux bornes de l’inductance, ainsi que les variations
Fig. 1.41 – Tension Ul aux bornes de l’inductance L
du courant Il qui la traverse. On définit D le rapport cyclique, comme le rapport entre la durée d’amorc¸age du transistor et la période de commutation du convertisseur T.
La tension Ul dépend de la phase de fonctionnement du convertisseur considérée:
– pendant DT : Ul = Ue,
– pendant (1 ? D)T : Ul = ?Uso
On peut ainsi calculer l’expression de la valeur moyenne <Ul > de Ul :
(1.70)
En régime permanent, la tension moyenne aux bornes de l’inductance L est nulle. Par conséquent:
<Ul >= 0 =? (1.71)
Une telle relation illustre la nature ((abaisseur–élévateur)) du convertisseur considéré. Le rapport cyclique pouvant varier de 0 à 1, la tension Uso en sortie peut varier de 0 à l’infini. A l’instar du convertisseur boost, ce dernier cas peut s’avérer ((problématique)) pour le dimensionnement du convertisseur: il faudrait trouver la diode et le transistor capables de tenir une tension infinie!
Malgré cette restriction (qui peut rendre un tel convertisseur difficile à piloter), le hacheur buck–boost permet donc, graˆce à la valeur du rapport cyclique D d’obtenir en sortie une tension qui sera, suivant D, ou plus faible, ou plus élevée que la tension en entrée.
Courant en sortieIso Les courants en entrée, en sortie, ainsi que dans l’inductance L sont représentés Fig. 1.42.
Fig. 1.42 – Courant en sortie du convertisseur
On distingue deux phases bien distinctes:
– Transistor T amorcé: pendant une durée DT, la diode D est bloquée. Le courant Is est donc nul. Pendant cette phase, Ie = Il.
– Transistor T bloqué: pendant une durée (1 ? D)T, la diode D est enclenchée afin d’assurer la continuité du courant dans l’inductance L. Par voie de conséquence, Il = Is, alors que Ie = 0.
En négligeant l’ondulation du courant dans l’inductance L devant celles des courant Ie et Is on peut écrire:
(1.72)
On peut écrire de même pour le courant d’entrée Ie :
(1.73)
On peut alors déduire des relations (1.72) et (1.73) le lien entre les valeurs moyennes de Ie et Is :
(1.74)
On notera que cette relation est duale à celle définissant la tension moyenne en sortie du convertisseur (1.71).
Si le convertisseur buck–boost est abaisseur–élévateur de tension, il est également
élévateur–abaisseur de courant. A l’instar des convertisseurs buck et buck–boost, la comparaison avec un transformateur est également totalement justifiée: le rapport de transformation serait dans la cas présent.
On démontre de même que, compte tenu des hypothèses de travail pratiquées (rendement de la cellule de commutation unitaire), la puissance en sortie UsoIso est identique à la puissance injectée en entrée Ue <Ie >.
Ondulation de la tensionUs Les hypothèses de travail adoptées conduisent à négliger l’ondulation de la tension Us, en la considérant minime devant les grandeurs continues. Nous devons cependant définir une relation qui permette de lier cette ondulation aux paramètres du convertisseur, afin d’être en mesure de dimensionner le condensateur pour justifier notre hypothèse de travail.
Pour définir l’ondulation ˜us de la tension en sortie Us, nous nous référons au schéma Fig. 1.43.
Compte tenu des hypothèses de travail adoptées, on peut décomposer le courant Is en une composante moyenne <Is >= Iso et une composante continue ˜is, telles que:
Is = Iso +˜is avec ˜is = Ics (1.75)
Ces propriétés sont représentées Fig. 1.30. Le courant Ics dans le condensateur est donc constitué de créneaux qui valent respectivement ?Iso (pendant DT) et Il ? Iso (pendant (1?D)T). Les variations ˜us de la tension de sortie sont définies par la relation:
(1.76)
La tension dans Cs varie linéairement, ce qui permet d’écrire, sur la durée DT :
Fig. 1.43 – Ondulation de la tension de sortie
(1.77)
Ou` ?Us représente l’amplitude des ondulations de tension en sortie du convertisseur. Ces ondulations sont bien évidemment fonction des paramètres du système, mais
également du rapport cyclique D. Nous proposons Fig. 1.44 les variations du rapport en fonction de D.
? Il apparaˆ?t que lorsque les paramètres Rs, Cs, f et Ue sont fixés, l’amplitude des ondulations de Us est d’autant plus grande que le rapport cyclique est élevé.
Pour fixer la valeur de ?Us au moyen de Cs on devra donc travailler sur un ((pire cas)), en considérant la valeur maximale que peut prendre D. Cela conduit cependant à ((sur-dimensionner)) la capacité de Cs si le fonctionnement du convertisseur se fait à une valeur de D nettement en dessous de la valeur considérée lors du dimensionnement.
Ce résultat doit cependant être placé en regard de l’expression de l’ondulation de tension en sortie d’un convertisseur boost ((1.31)): de ce point de vue le buck–boost présente une ondulation de la tension Us moindre que celle du boost.
A l’instar du boost, on notera l’intérêt de choisir pour la fréquence de commutation f du convertisseur une valeur la plus élevée possible. Cela permet en effet de réduire
Fig. 1.44 – Ondulation de tension fonction de D
d’autant la capacité du condensateur Cs.
Ondulation du courantIl Nous donnons Fig. 1.45 les représentations de la tension Ul aux bornes de l’inductance L, ainsi que des variation ˜il du courant Il autour de sa valeur moyenne.
Fig. 1.45 – Ondulation de courant dans l’inductance L
Compte tenu des hypothèses de travail adoptées, les variations ˜il sont linéaires:
– pendant DT : le transistor T est amorcé. La tension aux bornes de L vaut Ue. Cette phase correspond à la croissance du courant dans l’inductance.
– pendant (1?D)T : la diode D est amorcée. La tension aux bornes de L vaut ?Uso. La tension Ul est négative, ce qui correspond à la décroissance du courant dans l’inductance.
Pendant la phase ou` Ul est positive, on peut écrire:
(1.78)
Ou` ?Il est l’amplitude des ondulations du courant Il. Il vient donc:
(1.79)
Les ondulations du courant Il sont ainsi directement proportionnelles au rapport cyclique D. Pour dimensionner L, on aura donc soin de considérer la valeur maximale que peut prendre D, afin que ?Il ne dépasse jamais la valeur prescrite. On prendra en compte l’influence de la fréquence de commutation f, que l’on choisira la plus élevée possible: cela permet de réduire avec bénéfice la valeur de L permettant de fixer ?Il.
On notera enfin que cette relation est en tout point identique à celle donnant l’ondulation du courant dans l’inductance d’un convertisseur boost (1.56).
Régimes de conduction Comme pour les convertisseurs précédemment définis, le convertisseur buck–boost est caractérisé par trois régimes de fonctionnement distincts:
– conduction continue: le courant Il ne s’annule jamais. Toutes les relations que nous venons d’établir se réfèrent à ce régime de fonctionnement,
– conduction critique: le courant s’annule ponctuellement lorsque, compte tenu de ses ondulations, sa valeur moyenne est telle que sa valeur minimale vaut zéro.
– conduction discontinue: le courant Il prend une valeur nulle, pendant une durée non–nulle.
Nous définirons dans un premier temps le régime de conduction critique. Ce fonctionnement est obtenu sous la condition suivante:
(1.80)
D’après la relation (1.72), il vient:
(1.81)
Ou` Isolim est la valeur limite de Iso pour laquelle on observe la conduction discontinue. Le report de (1.79) dans cette dernière équation donne la condition de fonctionnement en conduction critique:
(1.82)
Ou encore, compte tenu de la relation (1.71):
(1.83)
Pour ce qui est de la conduction discontinue, nous nous référons au schéma Fig. 1.46. On distingue trois phases de fonctionnement:
Fig. 1.46 – Conduction discontinue
– pendant DT : le transistor est amorcé. La tension appliquée aux bornes de l’inductance L vaut Ue. Cette phase correspond à la croissance du courant dans L.
– pendant D0T : le transistor est bloqué, et la diode est amorcée. La tension appliquée aux bornes de l’inductance L vaut ?Uso. Cette phase correspond à la décroissance du courant dans L.
– pendant (1 ? D)T ? D0T : le courant s’est annulé dans l’inductance. Il s’est donc également annulé dans la diode D. Ceci est une condition de blocage pour la diode. Dans ce cadre, le courant étant nul dans l’inductance L le reste. Tout les interrupteurs étant bloqués, la tension Ul aux bornes de L est également nulle.
La relation (1.71) liant Uso et Ue n’est donc plus applicable, et doit être ré–évaluée. La première étape consiste à lier les rapports cycliques D et D0 :
– Pendant DT :
(1.84)
– Pendant D0T :
(1.85)
D’ou` il vient: | UeD = UsoD0 |
(1.86)
=?
La seconde étape consiste en l’évaluation du courant en sortie du convertisseur. Comme vu précédemment, nous savons que: Iso =< Is >. En outre, Is = Il lorsque la diode D est passante (c’est–à–dire pendant D0T). D’après Fig. 1.46, il vient donc aisément:
(1.87)
On reporte les relation (1.84) et (1.86) dans cette expression:
(1.88)
A partir de cette relation, on isole le rapport pour obtenir:
(1.89)
Caractéristiques de sortie Nous possédons à présent tous les éléments qui permettent de définir les caractéristiques de sortie d’un hacheur buck–boost, grâce aux relations:
– (1.71): valeur moyenne de la tension en sortie du convertisseur en conduction continue,
– (1.89): valeur moyenne de la tension en sortie du convertisseur en conduction discontinue,
– (1.82): condition de conduction critique.
Comme pour le convertisseur buck, nous introduisons les variables normalisées suivantes:
(1.90)
Si l’on re–formule les équations (1.71), (1.89) et (1.82) suivant cette définition, on obtient:
Conduction continue | |||
Conduction discontinue | |||
Conduction critique | =? |
(1.91)
Le tracé de ces relations en variables normalisées est donné Fig. 1.47, dans le plan (x,y), et pour plusieurs valeurs du rapport cyclique D.
Fig. 1.47 – Caractéristiques de sortie
On peut sur un tel graphique juger de l’évolution de la tension de sortie du convertisseur buck–boost, suivant que l’on est ou non en mode de conduction continue. A l’instar du convertisseur boost, apparaˆ?t également la nature ((difficile)) d’un tel convertisseur:
– en conduction continue la tension moyenne de sortie ne dépend que du rapport cyclique. Cependant, pour les valeurs élevées de D, la tension en sortie Uso peut prendre des valeurs théoriquement infinies, ce qui peut poser un problème de viabilité d’un tel montage,
– les conductions critiques et discontinues imposent de plus une dépendance vis–a`-vis du courant moyen Iso. Ceci peut limiter les possibilités de contrôle du convertisseur à faible charge.