Cours convertisseur Buck
CONVERTISSEUR ABAISSEUR (BUCK)
PRINCIPE
Le circuit est alimenté par une source de tension Ve, la sortie est chargée par une résistance R et débite un courant IS.
L'interrupteur K, symbolisé ici comme un MOS FET de puissance, est rendu périodiquement conducteur avec un rapport cyclique ? à la fréquence F =1/T.
On distingue deux modes de fonctionnement de ce circuit selon que le courant circulant dans l'inductance L est ou non continu (ne s'annule pas au cours de la période).
Le mode conduction continue étant le plus intéressant pour ce convertisseur, nous n'étudierons que ce mode.
HYPOTHESES
Dans cette étude théorique, nous admettrons les hypothèses suivantes :
• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)
• Le régime sera supposé établi
• La capacité du condensateur de sortie sera supposée suffisamment grande pour que la tension à ses bornes puisse être considérée comme constante au cours de la période
ETUDE THEORIQUE EN CONDUCTION CONTINUE
Phase 1 (0
L'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée. Le schéma équivalent du circuit est le suivant:
On a:
Ve-Vs = | di L dt | d'où | Ve-Vs i (t) =Im + L t |
A l'instant t = ?T le courant dans l'inductance atteint la valeur crête :
Ve-Vs IM = Im + L ?T | (1) |
Phase 2 ( ?T
A t = ?T on ouvre l'interrupteur K. La diode D devient conductrice et le schéma équivalent du circuit devient :
di di
-Vs = L dt ou Vs = -L dt
Vs
i(t) = IM - (t - ?T)
L
A l'instant t = T le courant dans l'inductance atteint sa valeur minimale :
Vs
Im = IM - (1- ?)T
L (2)
Soit ?I l'ondulation du courant dans l'inductance : ?I = IM - Im
De l'équation (1) on tire: | |
et de l'équation (2): | ?I = IM - Im = eL-Vs ?T V |
V ?I = IM - Im = Ls (1- ?)T |
En combinant ces deux relations , on peut établir l'expression de la tension de sortie:
Vs = ? Ve (3)
On constate que la tension de sortie du convertisseur ne dépend que de la tension d'entrée et du rapport cyclique ?. Celui ci étant toujours compris entre 0 et 1, le convertisseur est toujours abaisseur de tension.
On notera que la tension de sortie est théoriquement indépendante de la charge. Dans la pratique, la boucle de régulation ne devra donc compenser que les variations de la tension d'entrée et les imperfections des composants réels.
La stratégie de régulation qui semble la plus évidente est la modulation de largeur d'impulsion (MLI) à fréquence fixe et rapport cyclique ? variable.
Courant moyen d'entrée
Tous les éléments étant supposés parfaits, le rendement théorique de ce convertisseur est égal à 1. On peut donc écrire:
VsIs = VeIe
En combinant avec l'équation (3), on établi l'expression du courant d'entrée:
Ie = ? Is (4)
Limite de fonctionnement en conduction continue
Lorsque le courant de sortie IS diminue, par exemple par augmentation de la résistance R, le circuit peut passer en conduction discontinue (le courant s'annule au cours de la période).
On montre que l'expression de la tension de sortie s'écrit alors:
Ve Vs =
2LIs
1 +
2
? ?Ve (5)
On remarque que la tension de sortie n'est plus indépendante ni de la charge, ni de la fréquence de découpage.
Il est donc important de connaître la limite de fonctionnement en conduction continue.
La limite de conduction continue étant atteinte pour Im = 0, on tire de l'équation (1) :
Ve - Vs
IM = ?T
L
En portant cette expression dans l'équation du courant durant la phase 2, on détermine l'instant t0 d'annulation du courant:
Ve
t0 = ?T
Vs
La valeur moyenne du courant traversant l'inductance est égale au courant de sortie IS et peut s'écrire:
??
1 T
Is = T 0 ILdt =( t - ?T)dt
Is =
(6)
On en déduit l'expression de la valeur minimale du courant de sortie permettant de rester en conduction continue
? (1- ?) T Ve
Is min = 2 L
On remarquera que cette valeur est égale à la moitié de l'ondulation de courant ?I.
NB: de l'équation (6) on tire l'expression (5) de la tension de sortie en régime de conduction discontinue.
DIMENSIONNEMENT DES COMPOSANTS ACTIFS
Afin de pouvoir dimensionner correctement les composants et notamment les semi-conducteurs, il est nécessaire de connaître les valeurs maximales (dans les conditions de fonctionnement les plus sévères) des tensions et des courants.
Rappelons que le calcul des pertes de conduction dans les semi-conducteurs nécessitent la connaissance des valeurs crête, moyenne et efficace du courant qui les traverse.
Courant dans l'interrupteur K
Le courant crête IM dans l'interrupteur K est atteint à t = ?T . Il est plus intéressant de l'exprimer en fonction des grandeurs d'entrée ou de sortie.
La valeur moyenne du courant dans l'inductance L étant égale au courant de sortie Is, on peut écrire:
IK= IM = Is+ ?2I = ?Ie + ?2I
La valeur moyenne du courant dans l'interrupteur est égale au courant d'entrée :
IKmoy = Ie = ? Is
On démontre que la valeur efficace s'écrit:
IKeff = Is
Cette expression est en fait peu différente de IKeff S
Tension maximale aux bornes de l'interrupteur K
Durant la phase 2, lorsque la diode D conduit, l'interrupteur K est soumis à la tension d'entrée Ve.
VK max = Ve
Courant dans la diode D
Le courant crête dans la diode est identique à celui traversant l'interrupteur K.
La valeur moyenne du courant dans la diode est égale à:
ID moy = Is (1- ?)
On adoptera pour la valeur efficace du courant dans la diode la valeur approchée:
IDeff = Is 1? ?
Tension maximale aux bornes de la diode D
Durant la phase 1, lorsque l'interrupteur K conduit, la diode est soumise à la tension d'entrée Ve.
VD max = Ve
Dimensionnement du condensateur de sortie
Le courant Ic traversant le condensateur Cs est égal à la différence entre le courant circulant dans l'inductance L et le courant de sortie Is: Ic = IL - Is
Sa valeur moyenne est nulle (voir formes d'onde).
Soit ?Q la variation positive de charge du condensateur Cs.
On peut calculer géométriquement ?Q en remarquant que c'est l'aire du triangle hachuré, dont la base vaut T/2 et la hauteur ?I/2.
on a ?Q = T ?I / 8 et ?Q = Cs ?Vc
On en déduit la valeur de la capacité Cs nécessaire pour obtenir une ondulation de la tension de sortie ?Vs (?Vs =?Vc si le condensateur est parfait)
T ?I
Cs =
8 ?Vs
On notera que l'ondulation de tension ?Vc résulte de l'intégration d'un courant de forme triangulaire et est donc constituée d'arcs de parabole.
1
Vs(t) = Cs Ic dt
Dans la réalité, les condensateurs ne sont pas parfaits et l'on doit tenir compte de leur résistance série équivalente, notée ESR, qui introduit une ondulation supplémentaire ?VESR en phase avec l'ondulation de courant ?I.
?VESR = ESR.?I
Bien souvent, l'ondulation ?VESR est prépondérante et impose le choix du condensateur de sortie
Cs.
Dans le cas de circuits fonctionnant avec une ondulation de courant importante, il faudra veiller à ce que le condensateur de sortie soit capable d'absorber le courant efficace le traversant sans échauffement excessif.
EXEMPLE DE DIMENSIONNEMENT
On désire alimenter à partir d'une batterie de 12V ± 2V un appareil fonctionnant sous 5V et consommant 10A. L'isolement galvanique de la sortie n'est pas nécessaire.
L'ondulation de la tension de sortie ne devra pas excéder 100 mV. Le rendement devra être supérieur ou égal à 80 %.
A partir d'un tel cahier des charges, il existe une infinité de solutions. Le concepteur est donc amené à faire des choix.
Deux paramètres sont nécessaires pour pouvoir conduire le calcul dans sa totalité:
• la fréquence de découpage F
• l'ondulation du courant dans l'inductance ?I
Le rendement ? devant être au moins de 80%, nous aurons : Ps / Pe ? 0,8
On en déduit la valeur du courant consommé sur la batterie à tension nominale:
Is Vs Ie=
? Ve d'où
Ie = 5,2 A pour Ve = 12V et Ie = 6,25 A pour Ve = 10V.
Le courant moyen dans l'inductance est égal au courant de sortie, donc 10 A.
Choisissons une ondulation maximale de ce courant de 10% de sa valeur nominale : ?I = 1 A et une fréquence de découpage de 100 kHz.
Nous pouvons maintenant calculer la plupart des paramètres de fonctionnement du convertisseur.
Rapport cyclique
Nous avons théoriquement: Vs ? =
Ve
soit ? = 0,42 à la tension d'entrée nominale
En fait, le rendement n'étant pas égal à 1 nous avons:
Ps VsIs
= = ?
Pe VeIe
Cette expression montre que l'influence du rendement se traduit, pour une tension d'entrée donnée, par une augmentation du courant d'entrée Ie.
VsIs ??s
Ie = =
Ve? ?
On peut donc considérer que le courant d'entrée Ie s'écrit:
Ie = ? réel Is avec ? réel > ? théorique
On en déduit la relation suivante:
?théorique
?réel =
?
La courbe ci dessous représente le coefficient multiplicatif k = 1/? à utiliser en fonction du rendement estimé ?
2 1,8
1,6
1,4
1,2
1
Rendement
Dans notre exemple ? = 80% nous avons donc:
• à la tension d'entrée nominale Ve = 12V
? théorique = 0,417 et ? réel = 0,521
• dans la plage de tension d'entrée 10V
0,500 > ? théorique > 0,357 et 0,625 > ? réel > 0,446 | ||
Valeur de l'inductance Nous avons établi la relation: | ||
On en tire la valeur de l'inductance | ?I = IM - Im = | Vs (1- ?)T L |
Vs (1- ?)
L =
F ?I
La tension de sortie étant supposée régulée, on remarque que l'ondulation est maximale lorsque le rapport cyclique ? est minimal, c'est à dire lorsque la tension d'entrée est maximale. On effectue donc le calcul dans ces conditions.
Ve = 14V ? ? réel = 0446 d'où L = 40 µH
Dimensionnement du transistor MOS
Tension drain-source maximale : V = 14 V ? On choisira un modèle 50 ou 60 V
Le courant crête dans le transistor est égal à Is+ ?I/2 soit : Icrête max = 10,5 A
On choisira un MOS dont la RDS on est spécifiée à ce courant, par exemple 50 m?.
La valeur efficace maximale est de 7,9A alors que la valeur efficace nominale est de 7,2A . On en déduit la puissance dissipée dans le transistor (en négligeant les pertes de commutation):
P = R DS on . I eff2
d'où P nominale = 2,6 WP maximale = 3,12W
Dimensionnement de la diode de roue libre
La tension inverse maximale vue par la diode de roue libre est de 14V.
Le courant moyen ID moy = Is (1- ? réel) traversant la diode est maximal lorsque la tension d'entrée est maximale:
On a ID moy max = 5,54A
La valeur efficace du courant dans la diode est maximale lorsque la tension d'entrée est maximale:
IDeff = Is 1? ?réel
d'où : ID eff max = 7,44 A
Calcul de la capacité minimale du condensateur de filtrage de sortie.
Nous avons établi la relation
T ?I
Cs =
8 ?Vs
On en déduit la valeur minimale de Cs permettant d'obtenir une ondulation de la tension de sortie
inférieure à 100 mV(en négligeant l'ESR du condensateur) : Cs ? 12,5 µF
CONVERTISSEUR ABAISSEUR (BUCK)
CONVERTISSEUR ELEVATEUR (BOOST)
PRINCIPE
Le circuit est alimenté par une source de tension Ve, la sortie est chargée par une résistance R et débite un courant IS.
L'interrupteur K, symbolisé ici comme un MOS FET de puissance, est rendu périodiquement conducteur avec un rapport cyclique ? à la fréquence F =1/T.
On distingue deux modes de fonctionnement de ce circuit selon que le courant circulant dans l'inductance L est ou non continu (ne s'annule pas au cours de la période).
Le mode conduction continue étant le plus intéressant pour ce convertisseur, nous n'étudierons que ce mode.
HYPOTHESES
Dans cette étude théorique, nous admettrons les hypothèses suivantes :
• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)
• Le régime sera supposé établi
• La capacité du condensateur de sortie sera supposée suffisamment grande pour que la tension à ses bornes puisse être considérée comme constante au cours de la période
ETUDE THEORIQUE EN CONDUCTION CONTINUE
Phase 1 (0
L'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée. Le schéma équivalent du circuit est le suivant:
On a:
di Ve
Ve = L d'où i (t) =I
dt m + L t
A l'instant t = ?T le courant dans l'inductance atteint la valeur crête :
Ve
IM = Im + ?T
L (1)
Phase 2 ( ?T
A t = ?T on ouvre l'interrupteur K. La diode D devient conductrice et le schéma équivalent du circuit devient :
di di
Ve-Vs = L dt ou Vs -Ve=-L dt
Vs - Ve
i(t) = IM - (t-?T)
L
A l'instant t = T le courant dans l'inductance atteint sa valeur minimale :
Vs - Ve
Im = IM - (1-?)T
L (2)
Soit ?I l'ondulation du courant dans l'inductance : ?I = IM - Im
De l'équation (1) on tire: | |
et de l'équation (2): | V ?I = IM - Im = Le ?T |
?I = IM - Im = sL- Ve (1-?)T V |
En combinant ces deux relations, on peut établir l'expression de la tension de sortie:
Ve
Vs =
(1-?) (3)
On constate que la tension de sortie du convertisseur ne dépend que de la tension d'entrée et du rapport cyclique ?. Celui ci étant toujours compris entre 0 et 1, le convertisseur est toujours élévateur de tension.
On notera que la tension de sortie est théoriquement indépendante de la charge. Dans la pratique, la boucle de régulation ne devra donc compenser que les variations de la tension d'entrée et les imperfections des composants réels.
La stratégie de régulation qui semble la plus évidente est la modulation de largeur d'impulsion (MLI) à fréquence fixe et rapport cyclique ? variable.
Courant moyen d'entrée
Tous les éléments étant supposés parfaits, le rendement théorique de ce convertisseur est égal à 1.
On peut donc écrire:
VsIs = VeIe
En combinant avec l'équation (3), on établi l'expression du courant d'entrée:
Is
Ie =
(1-?) (4)
Limite de fonctionnement en conduction continue
Lorsque le courant de sortie IS diminue, par exemple par augmentation de la résistance R, le circuit peut passer en conduction discontinue (le courant s'annule au cours de la période).
On montre que l'expression de la tension de sortie s'écrit alors:
Vs = Ve
On remarque la tension de sortie n'est plus indépendante de la charge et de la fréquence. Il est donc important de connaître la limite de fonctionnement en conduction continue.
La valeur moyenne du courant traversant la diode (donc transitant vers la charge durant la phase 2) est égale au courant de sortie IS.
1 T
Is = T 0 IDdt =( t - ?T)dt
?T
La limite de conduction continue étant atteinte pour Im = 0, on tire de l'équation (1) :
Ve
IM = ?T
L
En portant cette expression dans l'équation précédente, on détermine l'expression de la valeur minimale du courant de sortie permettant de rester en conduction continue :
(1- ?) ?I
Is min = 2
DIMENSIONNEMENT DES COMPOSANTS ACTIFS
Afin de pouvoir dimensionner correctement les composants et notamment les semi-conducteurs, il est nécessaire de connaître les valeurs maximales (dans les conditions de fonctionnement les plus sévères) des tensions et des courants.
Rappelons que le calcul des pertes de conduction dans les semi-conducteurs nécessitent la connaissance des valeurs crête, moyenne et efficace du courant qui les traverse.
Courant dans l'interrupteur K
Le courant crête IM dans l'interrupteur K est atteint à t = ?T . Il est plus intéressant de l'exprimer en fonction des grandeurs d'entrée ou de sortie.
La valeur moyenne du courant dans l'inductance L étant égale au courant d'entrée Ie, on peut écrire :
?I Is ?I
IK= IM = Ie+ 2 = (1-?) + 2
La valeur moyenne s'écrit:
?
IKmoy= ? Ie = Is
1- ?
On démontre que la valeur efficace s'écrit:
IKeff = Ie
Cette expression est en fait peu différente de
IKeff ? Ie ?
Tension maximale aux bornes de l'interrupteur K
Durant la phase 2, lorsque la diode D conduit, l'interrupteur K est soumis à la tension de sortie Vs.
VK max = Vs
Courant dans la diode D
Le courant crête dans la diode est identique à celui traversant l'interrupteur K.
L'intégralité du courant transitant de la source vers la charge traverse la diode D. La valeur moyenne du courant dans la diode est donc égale au courant de sortie:
ID moy = IS
On adoptera pour la valeur efficace du courant dans la diode la valeur approchée:
IDeff= Ie
Tension maximale aux bornes de la diode D
Durant la phase 1, lorsque l'interrupteur K conduit, la diode est soumise à la tension de sortie Vs.
VD max = Vs
Calcul de la valeur du condensateur de sortie
Durant la phase 1 qui dure ? T, le condensateur fournit seul l'énergie à la charge. Le courant de sortie étant supposé constant, on peut calculer la charge fournie par le condensateur:
?Q = IS ? T
Si l'on admet une ondulation ?VS de la tension de sortie, on peut écrire:
?Q = C ?VS
On en déduit la capacité du condensateur de sortie:
IS ? T
C =
?VS
Dans la pratique, il faut également tenir compte de la résistance série équivalente ESR du condensateur.
Le courant crête dans le condensateur est égal à IM -IS, d'où:
? IS ?? ICS= +
1- ? 2
ce qui entraîne une ondulation supplémentaire de la tension de sortie que l'on peut écrire:
? IS ??
?V = ESR . ICS= ESR . ( + )
1- ? 2
EXEMPLE DE DIMENSIONNEMENT
On désire alimenter à partir d'une batterie de 12V ± 2V un appareil fonctionnant sous 28 V et consommant 5A. L'isolement galvanique de la sortie n'est pas nécessaire.
L'ondulation de la tension de sortie ne devra pas excéder 100 mV. Le rendement devra être supérieur à 80 %.
A partir d'un tel cahier des charges, il existe une infinité de solutions. Le concepteur est donc amené à faire des choix.
Deux paramètres sont nécessaires pour pouvoir conduire le calcul dans sa totalité:
• la fréquence de découpage F
• l'ondulation du courant dans l'inductance ?I
Le rendement ? devant être au moins de 80%, nous aurons : Ps / Pe ? 0,8
On en déduit la valeur du courant consommé sur la batterie à tension nominale:
Is Vs Ie=
? Ve d'où
Ie = 14, 59 A pour Ve = 12V et Ie = 17, 5 A pour Ve = 10V.
Le courant nominal dans l'inductance s'établit donc aux alentours de 15A.
Choisissons une ondulation de ce courant de 10% : ?I = 1, 5 A et une fréquence de découpage de 100 kHz.
Nous pouvons maintenant calculer la plupart des paramètres de fonctionnement de ce convertisseur.
Rapport cyclique
De l'équation (3) on tire:
Ve
? = 1 -
Vs
soit ? = 0, 571 à la tension d'entrée nominale et 0, 5
Valeur de l'inductance
Nous avons établi la relation:
?I = IM - Im = On en tire la valeur de l'inductance ? Ve L = F?I | Ve ? | |
L | T | |
Capacité du condensateur de sortie | Soit L = 45, 7 µH |
nous avons établi que:
IS? T
C =
?VS
On remarque que l'ondulation est maximale lorsque la tension d'entrée est la plus faible, ce qui correspond au rapport cyclique ? maximal soit ici Cs ? 321 µF pour Ve = 10V.
Dimensionnement du transistor MOS
Tension drain-source maximale : 28 V ? On choisira un modèle 50 ou 60 V Le courant crête maximal est atteint pour une tension d'entrée de 10V:
Icrête max = 18, 2 A
On choisira un MOS dont la RDS on est spécifiée à ce courant, par exemple 50 m?.
La valeur efficace maximale est de 14 A alors que la valeur efficace nominale est de 11A.
On en déduit la puissance dissipée dans le transistor (en négligeant les pertes de commutation):
P = R DS on . I eff2
d'où P nominale = 6 WP maximale = 9,8 W
CONVERTISSEUR ELEVATEUR (BOOST)
CONVERTISSEUR INVERSEUR (BUCK-BOOST)
PRINCIPE
Is
Le circuit est alimenté par une source de tension Ve, la sortie est chargée par une résistance R et débite un courant IS.
L'interrupteur K, symbolisé ici comme un MOS FET de puissance, est rendu périodiquement conducteur avec un rapport cyclique ? à la fréquence F =1/T.
On distingue deux modes de fonctionnement de ce circuit selon que le courant circulant dans l'inductance L est ou non continu (ne s'annule pas au cours de la période).
Les deux modes de fonctionnement étant intéressants pour ce convertisseur, nous les étudierons successivement.
HYPOTHESES
Dans cette étude théorique, nous admettrons les hypothèses suivantes :
• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)
• Le régime sera supposé établi
• La capacité du condensateur de sortie sera supposée suffisamment grande pour que la tension à ses bornes puisse être considérée comme constante au cours de la période
ETUDE THEORIQUE EN CONDUCTION CONTINUE
Phase 1 (0
L'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée. Le schéma équivalent du circuit est le suivant:
On a:
di Ve
Ve = L d'où i (t) =I
dt m + L t
A l'instant t = ?T le courant dans l'inductance atteint la valeur crête :
Ve
IM = Im + ?T
L (1)
Phase 2 ( ?T
A t = ?T on ouvre l'interrupteur K. La diode D devient conductrice et le schéma équivalent du circuit devient :
Is
di
Vs =- L dt
Vs
i(t) = IM - (t - ?T)
L
A l'instant t = T le courant dans l'inductance atteint sa valeur minimale :
Vs
Im = IM - (1- ?)T
L (2)
Soit ?I l'ondulation du courant dans l'inductance : ?I = IM - Im
De l'équation (1) on tire: | |||
et de l'équation (2): | V ?I = IM - Im = Le ?T | ||
V ?I = IM - Im = Ls (1- ?)T | (3) |
En combinant ces deux relations, on peut établir l'expression de la tension de sortie:
Vs ?
=
Ve 1- ? (4)
que l'on peut aussi écrire:
Vs ?? ton
= =
Ve (1- ?)? toff (5)
On constate que la tension de sortie du convertisseur ne dépend que de la tension d'entrée et du rapport cyclique ?.
Le rapport de transformation de ce convertisseur peut être soit abaisseur (?
(?> 0,5) d'où l'appellation anglo-saxonne de Buck-Boost. Par contre, la tension de sortie est toujours de signe opposé à celle d'entrée, pour cette raison nous lui préférons l'appellation de convertisseur inverseur.
On notera que la tension de sortie est théoriquement indépendante de la charge. Dans la pratique, la boucle de régulation ne devra donc compenser que les variations de la tension d'entrée et les imperfections des composants réels.
La relation (5) montre que le rapport de transformation peut s'exprimer de manière très simple en fonction du temps de conduction t on = ?T de l'interrupteur K et du temps de non conduction t off = (1-?)? de ce même interrupteur. Ceci suggère des stratégies de régulation autre que la modulation de largeur d'impulsion (MLI) à fréquence fixe et rapport cyclique ? variable, comme par exemple la commande à temps de conduction ton constant et fréquence variable.
Courant moyen d'entrée
Tous les éléments étant supposés parfaits, le rendement théorique de ce convertisseur est égal à 1.
On peut donc écrire:
VsIs = VeIe
En combinant avec l'équation (4), on établi l'expression du courant d'entrée:
? Is Ie=
(1-?) (6)
DIMENSIONNEMENT DES COMPOSANTS ACTIFS
Afin de pouvoir dimensionner correctement les composants et notamment les semi-conducteurs, il est nécessaire de connaître les valeurs maximales (dans les conditions de fonctionnement les plus sévères) des tensions et des courants.
Rappelons que le calcul des pertes de conduction dans les semi-conducteurs nécessitent la connaissance des valeurs crête, moyenne et efficace du courant qui les traverse.
Courant dans l'interrupteur K
Le courant crête IM dans l'interrupteur K est atteint à t = ?T . Il est plus intéressant de l'exprimer en fonction des grandeurs d'entrée ou de sortie.
La valeur moyenne du courant traversant la diode (donc transitant vers la charge durant la phase 2) est égale au courant de sortie IS. Nous pouvons donc écrire:
1 T
Is = T 0 IDdt =( t - ?T)dt
?T
en effectuant et en combinant avec l'équation (3) on obtient:
?I
Is = (IM - 2 )(1??) (7)
d'où l'on tire l'expression du courant crête dans l'interrupteur:
Is ?I
IK= IM =(1-?) + 2
La valeur moyenne est égale au courant d'entrée:
? Is IKmoy = Ie=
(1- ?)
On démontre que la valeur efficace s'écrit:
IKeff= Is
Cette expression est en fait peu différente de:
? ?e
IKeff = Is =
(1? ?) ?
Tension maximale aux bornes de l'interrupteur K
Durant la phase 2, lorsque la diode D conduit, l'interrupteur K est soumis à la somme de la tension de sortie Vs et de la tension d'entrée Ve.
VK max = Vs + Ve
Courant dans la diode D
Le courant crête dans la diode est identique à celui traversant l'interrupteur K.
L'intégralité du courant transitant de la source vers la charge traverse la diode D. La valeur moyenne du courant dans la diode est donc égale au courant de sortie:
ID moy = Is
La valeur efficace du courant dans la diode s'écrit:
IDeff= Is
Cette expression est peu différente de:
Is IDeff=
Tension maximale aux bornes de la diode D
Durant la phase 1, lorsque l'interrupteur K conduit, la diode est soumise à la somme de la tension de sortie Vs et de la tension d'entrée Ve:
VD max = Vs +Ve
Calcul de la valeur du condensateur de sortie
Durant la phase 1 qui dure ?T, le condensateur de sortie fournit seul l'énergie à la charge. Le courant de sortie étant supposé constant, on peut calculer la charge fournie par le condensateur:
?Q = IS ? T
Si l'on admet une ondulation ?VS de la tension de sortie, on peut écrire:
?Q = C ?VS
On en déduit la capacité du condensateur de sortie:
IS ? T
C =
?VS
Dans la pratique, il faut également tenir compte de la résistance série équivalente ESR du condensateur.
Le courant crête dans le condensateur est égal à IM - IS, d'où:
? IS ?? ICS= +
1- ? 2
ce qui entraîne une ondulation supplémentaire de la tension de sortie que l'on peut écrire:
? IS ??
?V = ESR . ICS= ESR . ( + )
1- ? 2
Limite de conduction continue
Lorsque le courant de sortie IS diminue, par exemple par augmentation de la résistance R, le circuit peut passer en conduction discontinue (le courant s'annule au cours de la période). L'équation (7) établie précédemment donne l'expression du courant de sortie
?I
Is = (IM - 2 )(1??)
En remarquant qu'à la limite de la conduction discontinue Im = 0 donc IM = ?I, on trouve l'expression du courant minimal permettant de rester en conduction continue:
?I
Is min = 2 (1- ?)
ETUDE THEORIQUE EN CONDUCTION DISCONTINUE
L'étude s'effectue de la même manière que dans le cas précédent:
Phase 1 (0
L'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée. Le schéma équivalent du circuit est le suivant:
On a: | ||||
Ve = | di L dt | d'où | Ve i (t) = t L |
A l'instant t = ?T le courant dans l'inductance atteint la valeur crête :
Ve
IM = L ?T(1)
L'énergie emmagasinée dans l'inductance est alors égale à:
1 2 1 Ve 2
E = LIM = L ( ?T)
2 2 L (2)
Phase 2 ( ?T
A t = ?T on ouvre l'interrupteur K. La diode D devient conductrice et le schéma équivalent du circuit devient :
Is
di
Vs =- L dt
Vs
i(t) = IM - L (t - ?T)
A l'instant t o le courant s'annule dans l'inductance :
Vs
i(to) = 0 = IM - (1- ?)T
L
en combinant avec l'équation (1), il vient:
Ve
t0 = ?T (1 + Vs )
Le courant dans l'inductance restera nul entre les instants to et T.
La limite de conduction continue est atteinte pour to = T.
Calcul du rapport de transformation
Ecrivons l'égalité des puissances d'entrée et de sortie, le rendement théorique du convertisseur étant égal à l'unité.
La puissance d'entrée peut s'exprimer à partir de l'équation (2):
1 2 1 2 1 Ve 2
Pe = 2LIMF =2TLIM = 2TL ( L ?T)
La puissance de sortie s'écrit: 2
Vs Ps = VsIs =
R
On en déduit le rapport de transformation du convertisseur:
On remarque que le rapport de transformation dépend de la fréquence de découpage et de la charge.
CONVERTISSEUR INVERSEUR (BUCK-BOOST)
Is
PRINCIPAUX CONVERTISSEURS SANS ISOLEMENT GALVANIQUE
(CONDUCTION CONTINUE)
ABAISSEUR | ELEVATEUR | INVERSEUR | |
Rapport de transformation Vs/Ve | ? | 1 1- ? | ? 1- ? |
Courant moyen d'entrée Ie | ? Is | ?s 1- ? | ? Is 1- ? |
Courant crête dans l'interrupteur | ?s + | ?s ?? + 1- ? 2 | ?s ?? + 1- ? 2 |
Courant moyen dans l'interrupteur | Ie = ? Is | ? Is = ? Ie 1- ? | ? Is (1- ?) |
Courant efficace dans l'interrupteur | ?s ? | ?e ? | ? Is= |
Tension crête aux bornes de l'interrupteur | Ve | Vs | Ve + Vs |
Courant crête dans la diode | ?s + | ?s ?? + 1- ? 2 | ?s ?? + 1- ? 2 |
Courant moyen dans la diode | Is (1- ?) | Is | Is |
Courant efficace dans la diode | Is (1- ?) | Is | Is |
Tension crête aux bornes de la diode | Ve | Vs | Ve + Vs |
Limite de conduc- tion continue Is min | ?I 2 | ?I (1? ?) 2 | ?I (1? ?) 2 |
ETUDE DES PRINCIPAUX
CONVERTISSEURS DC/DC
ISOLES
CONVERTISSEUR A ACCUMULATION
(FLYBACK)
SCHEMA DE PRINCIPE
HYPOTHESES
Dans cette étude théorique, nous admettrons les hypothèses suivantes :
• Tous les composants sont parfaits (sans pertes)
• Le régime sera supposé établi
• La capacité du condensateur de sortie sera supposée suffisamment grande pour que la tension à ses bornes puisse être considérée comme constante au cours de la période
• On utilisera le modèle du transformateur suivant :
Rappel : les équations du transformateur parfait s'écrivent :
n2 V2
n1 i1 = n2i2 et =
n1 V1
ETUDE THEORIQUE EN CONDUCTION DISCONTINUE
Phase 1 (0
A t = 0 on ferme l'interrupteur K. La diode D étant bloquée, le schéma équivalent du circuit est le suivant
On a:
di1 Ve
Ve = Lp dt d'où i1 (t) = Lp t
A l'instant t = ?T le courant atteint la valeur :
Ve
î1 = ?T
Lp
Phase 2 ( ?T
A t = ?T on ouvre l'interrupteur K. La diode D devient conductrice et le schéma équivalent du circuit est :
Les équations du transformateur parfait s'écrivant :
n2 V2
n1 i1 = n2i2 et n1 = V1 l'équation du courant i2 dans le circuit secondaire est donnée par :
di2
Vs = - Ls Ls étant l'inductance du primaire Lp vue du secondaire dt
En écrivant l'expression de l'énergie emmagasinée dans le noyau magnétique :
1 2 1 2
E = Lp î 1 = Ls î 2
2 2
et l'équation des courants dans le transformateur à t = ?T
n1i1(t = ?T) = n2 i2(t = ?T)
on en déduit la relation:
n2 2
Ls = (n1) Lp
On peut donc écrire l'expression du courant secondaire :
avec | V ? i2(t) = i2 ( T) - Lss ( t - ?T ) | ||
n i2( T) = n2 Lpe ?T ? 1 V | |||
En remplaçant, il vient : |
n1 2 ?T n2
i2(t) = (n2) Lp ( Vs + n1 Ve ) ?
Il est intéressant de noter que ce courant s'annule à l'instant :
t 0 = ?T ( 1 + n2 Ve ) n1 Vs
On en déduit le temps pendant lequel la diode est conductrice:
t D = ?T n21 VVes n
Le respect de l'hypothèse de conduction discontinue impose t 0
? ( 1 + n2Ve ) n1 Vs
Phase 3 (t0
Lorsque le courant secondaire s'annule, la diode D se bloque. Le transformateur se trouve alors complètement déconnecté de la source et de la charge.
On a donc durant cette phase que nous appellerons temps mort tm = T - to :
V1 = V2 = 0 et i1 = i2 = 0.
CALCUL DU RAPPORT DE TRANSFORMATION Vs/Ve
La puissance d'entrée de ce convertisseur s'écrit :
1 1 2
Pe = ( Lp î 1 )
T 2 et la puissance de sortie : 2
Vs
Ps = Vs Is =
R
Le rendement théorique étant égal à l'unité, nous pouvons écrire : 2
d'où l'on tire : | Lp Ve 2 Vs ( ?T ) = 2T Lp R |
Vs
= ?
Ve p
Ce résultat amène quelques remarques :
• la fonction de transfert est indépendante du rapport de transformation du transformateur
• la fonction de transfert dépend de la charge, on ne pourra donc pas se passer d'une boucle de régulation
• la fonction de transfert dépend de la fréquence de découpage
• la fonction de transfert est directement proportionnelle au rapport cyclique ?.
On en déduit que la meilleure stratégie de commande est la modulation de largeur d'impulsion à fréquence fixe.
DIMENSIONNEMENT DE L'INTERRUPTEUR K
Courant traversant l'interrupteur
Courant moyen
Le courant moyen traversant l'interrupteur est égal au courant d'entrée Ie débité par la source.
1 ?T
ik = T 0 i1(t)dtd'où
2 Ve
ik = ? T
2Lp
? ik = Ie=î1
2
Courant crête
Le courant maximal dans l'interrupteur K est atteint pour t = ?T :
V
î1 = Lpe ?T
On peut l'exprimer en fonction du courant d'entrée:
2 Ie î1 =
?
Courant efficace
i
i k eff =
p
Tension maximale supportée par l'interrupteur
La tension aux bornes de l'interrupteur (lorsqu'il est ouvert) s'écrit:
VK = Ve + V1
V1 étant la tension aux bornes de l'enroulement primaire que l'on peut facilement exprimer en fonction de la tension secondaire V2.
Tant que la diode D est conductrice, c'est à dire tant que le courant i2 ne s'est pas annulé, la tension secondaire V2 est égale à la tension de sortie Vs. On a donc: n1
Vk = Ve + V n2 s
DIMENSIONNEMENT DE LA DIODE
Courant traversant la diode
Courant crête
Le courant dans la diode est maximal à t = ?T
n1 Ve
îd = i2(?T) = n2 Lp ?T
Courant moyen
La valeur moyenne du courant dans le condensateur étant nulle, le courant moyen au secondaire est égal au courant de sortie :
id= is
Courant efficace
id eff =
?T
Le rapport cyclique du courant traversant la diode s'écrit:
n2 Ve ß = ?
n1 Vs
On en déduit la valeur du courant efficace dans la diode:
Tension inverse maximale
La tension inverse aux bornes de la diode est maximale durant la phase 1, c'est à dire lorsque l'interrupteur K est fermé.
n2
VR= Vs + V2 = Vs + n1 Ve
CALCUL DE LA VALEUR MINIMALE DE LA CAPACITE DE SORTIE
Nous avons supposé dans ce qui précède que la tension de sortie ne varie pas au cours de la période. Une valeur approchée par excès de la capacité nécessaire pour satisfaire cette hypothèse peut être obtenue de la manière suivante:
Soit ?Vs l'ondulation maximale de la tension de sortie. En supposant que le condensateur se décharge à courant constant pendant toute la période , on peut écrire:
? Q = Is T = C ?Vs d'où C = IsT
?Vs
Dans la pratique on doit également tenir compte de la résistance série équivalente ESR du condensateur :
?Vs ? ESR. î2
C'est souvent cette condition qui guide le choix du (ou des) condensateur(s)de sortie.
EXEMPLE DE DIMENSIONNEMENT
On désire réaliser une alimentation stabilisée capable de délivrer 10A sous 12V, à partir du réseau 220V ± 15% redressé et filtré capacité en tête.
L'ondulation relative de la tension de sortie ne devra pas excéder 2%.
Déterminons la plage de variation de la tension d'entrée (on suppose que le condensateur de filtrage se charge à la tension crête):
Ve = 220 2 ±15%
soit Ve min = 264V et Ve max = 357V pour une tension nominale de 311V
Nous avons établi la relation:
Vs
= ?
Ve p (1)
dans laquelle il y a trois paramètres inconnus : T , ? et Lp . Nous devons donc effectuer des choix technologiques:
• Choix de la fréquence de découpage F = 1/T
• Choix du rapport cyclique ?
Le choix de la fréquence dépend de la technologie utilisée, de la compacité et des performances recherchées, etc.
Le choix du rapport cyclique sera guidé par des considérations de pertes dans les interrupteurs et de courant efficace dans les condensateurs de sortie,
Choisissons une fréquence de découpage de 50 kHz et un rapport cyclique maximal de 40% (le rapport cyclique ? est maximal lorsque la tension d'entrée est minimale).
Nous déduisons de la relation (1) la valeur de l'inductance Lp:
2
soit Lp = 929 µH et du rapport cyclique ? : | LP = ? | e 2 2Vs |
2 RTV
Vs 2Lp
? =
Ve RT
soit 0,29
Déterminons maintenant le rapport de transformation du transformateur.
La condition de conduction discontinue nous impose:
? ( 1 + nn21 VVes ) 21 se
soit pour ? max: n2/n1
Nous avons établi la relation donnant l'instant d'annulation du courant dans le circuit secondaire:
n2 Ve
t 0 = ?T ( 1 + n1 Vs )
En appelant tm le temps mort pendant lequel le courant reste nul dans le circuit, nous avons: t m = T - t o
En combinant avec l'équation précédente, nous pouvons établir l'expression du rapport de transformation:
n2 T - tm min Vs
= ( - 1 )
n1 ?max T Ve min
Choisissons un temps mort minimal tm min de 0,2 µs , ce qui représente 1% de la période. Nous en déduisons la valeur du rapport de transformation : n2/n1 = 0,067
Nous pouvons maintenant dimensionner les composants semi-conducteurs ainsi que le condensateur de sortie.
Interrupteur K
Courant crête : | 2,273A | |
Courant moyen maximal (Ve min) : | 0,455A | |
Courant efficace maximal (Ve min) : | 0,830A | |
Tension maximale (Ve max) : Diode D | 536V | |
Courant crête : | 33,9A | |
Courant moyen : | 10A | |
Courant efficace : | 15,03A | |
Tension maximale (Ve max) : | 36V |
Condensateur de sortie
L'ondulation relative de la tension de sortie ne devant pas dépasser 2% nous aurons:
?Vs ? 0,24V d'où :
IsT
C = -------> C > 833 µF
?Vs
Choisissons une valeur de 1000 µF. La résistance série équivalente ESR d'un condensateur électrochimique à faible résistance série de 1000 µF est d'environ 90 m?. L'ondulation crête à crête due à l'ESR sera donc de:
?V = 33,9 x 0,09 = 3 V
Nous devrons donc choisir un condensateur de meilleure qualité ou connecter 13 condensateurs en parallèle!
Un re-dimensionnement du circuit en choisissant un rapport cyclique maximal plus faible peut aussi être envisagé. Il est en général nécessaire d'effectuer plusieurs fois les calculs afin de trouver l'optimum correspondant au cas considéré, d'où l'intérêt d'utiliser des outils informatiques .
ETUDE THEORIQUE EN CONDUCTION CONTINUE
L'étude en conduction continue peut être menée de la même manière que l'étude en conduction discontinue. Cependant, il est intéressant de noter que le convertisseur Flyback peut facilement se ramener au convertisseur inverseur sans isolement galvanique que nous avons étudié précédemment, comme le montre la figure ci-dessous.
Phase 1 (0
L'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée. Le schéma équivalent du circuit est le suivant:
On a:
di Ve
Ve = LP dt d'où i (t) =Im + LP t
où Lp représente l'inductance de l'enroulement primaire.
A l'instant t = ?T le courant dans l'inductance atteint la valeur crête :
Ve
IM = Im +LP ?T (1)
Phase 2 ( ?T
A t = ?T on ouvre l'interrupteur K. La diode D devient conductrice et le schéma équivalent du circuit devient :
di
Vs =- Ls dt
Vs
i2(t) = i2(?T) - Ls (t - ?T)
où Ls représente l'inductance primaire Lp vue du secondaire, soit:
n2 2
Ls = (n1) Lp
A l'instant t = T le courant dans l'inductance atteint sa valeur minimale :
Vs
I2(T) = I2(?T) - (1- ?)T
Ls
Les conditions de passage s'écrivent à t = ?T et t = T : n1 i1 = n2 i2 c'est à dire:
n1 n1
I2(?T) = I
n2 M et I2(T) = n2 Im
n1Im = nn21 Vs n1 2 (1- ?)T
n2 IM - Lp (n2) (2)
Soit ?I l'ondulation du courant dans l'inductance primaire Lp: ?I = IM - Im
De l'équation (1) on tire: | |||
et de l'équation (2): | V ?I = IM - Im = Lpe ?T | ||
V ?I = IM - Im = Lsp (nn21) (1- ?)T | (3) |
En combinant ces deux relations , on peut établir l'expression de la tension de sortie:
Vs n2 ?
=
Ve n1 1- ? (4)
que l'on peut aussi écrire:
Vs n2 ton
=
Ve n1 toff (5)
où ton et toff représentent respectivement le temps de conduction et le temps de non conduction de l'interrupteur K.
On constate que le circuit se comporte comme un convertisseur inverseur dont on aurait multiplié la tension d'entrée par le rapport de transformation n2/n1
Convertisseur à accumulation
Conduction continue
Convertisseur à accumulation
Conduction discontinue
CONVERTISSEUR DIRECT ISOLE
(FORWARD)
Dans ce convertisseur, l'énergie est directement transférée de la source vers la charge pendant la phase de conduction de l'interrupteur K.
Le circuit se comporte comme un convertisseur abaisseur qui fonctionnerait à la même fréquence, avec le même rapport cyclique, mais sous une tension d'entrée qui serait multipliée par le rapport de transformation du transformateur.
Cependant il faut noter quelques particularités dues à la présence du transformateur.
L'énergie emmagasinée dans l'inductance primaire du transformateur pendant la phase de conduction de l'interrupteur K doit être aiguillée vers un circuit capable de l'accueillir, sinon elle donnera lieu à une forte surtension au moment de l'ouverture de l'interrupteur qui risque de le détruire.
Une méthode consiste à récupérer cette énergie, à l'aide d'un enroulement supplémentaire sur le transformateur, et de la restituer à la source.
Le rapport de transformation primaire / enroulement de démagnétisation est souvent pris égal à l'unité.
La tension vue par l'interrupteur K lors de la phase de démagnétisation est alors de deux fois la tension d'entrée.
Le fonctionnement correct du circuit suppose que le transformateur soit complètement démagnétisé à chaque cycle, ce qui impose une limitation du rapport cyclique.
Dans le cas d'un rapport de transformation primaire / enroulement de démagnétisation de 1, le rapport cyclique doit être limité à 50%.
Convertisseur Direct
(Forward)
ANNEXES
Courant efficace
Glossaire
COURANT EFFICACE
Définition
1 ?T 2( )
Ieff = T 0 i t dt
Terminologie
Valeur quadratique moyenne = Root Mean Square
I eff = I RMS
Quelques valeurs usuelles
t1
?= T
GLOSSAIRE ALIMENTATION A DECOUPAGE
Terme | Signification |
AC | Courant alternatif |
air gap | entrefer |
boost | convertisseur DC-DC élévateur sans isolement |
Bridge | pont |
buck | convertisseur DC-DC abaisseur sans isolement |
buck-boost | convertisseur DC-DC inverseur sans isolement |
choke | inductance |
coil | bobine |
coil former | mandrin, carcasse de bobinage |
core | noyau |
DC | (Direct Current) courant continu |
dead time | temps mort |
duly cycle | rapport cyclique |
Eddy current | courant de Foucaut |
ferrite bead | perle de ferrite |
fly-back | convertisseur à accumulation |
forward | convertisseur direct |
heatsink | refroidisseur |
hold-up time | temps de maintien |
HV | (High voltage) haute tension |
layer | couche |
leakage | fuite |
load | charge |
Loop | boucle (de régulation) |
losses | pertes |
noise | bruit |
off-line | fonctionnant directement sur le réseau |
power supply | alimentation |
PWM | modulation de largeur d'impulsions (MLI) |
Rating | limite |
Ripple | ondulation |
RMS | (Root Mean Square) efficace |
SCR | thyristor |
screen | écran |
shielding | blindage |
shutdown | entrée d'inhibition |
single ended | convertisseur à un seul interrupteur |
sink current | courant absorbé (qui entre par la broche considérée) |
SMPS | alimentation à découpage |
SMPS | switched mode power supply |
soft start | démarrage progressif |
source current | courant fourni (qui sort par la broche considérée) |
step-down | abaisseur |
step-up | élévateur |
voltage drop | chute de tension |
winding | bobinage |