Exercices d'électronique de puissance
Sommaire
N.B.: Pour faciliter le tracé des courbes correspondants aux exercices 2, 3, 9, 10, 11, 38, 41 et 46 ( et, éventuellement, 4 et 6 ), des exemples de supports graphiques figurent ci-après. Il faudra évidemment les imprimer en nombre suffisant!
Support graphique pour exercice 2
Support graphique pour exercice 3 ( 1ère partie ), 38, 41 et 46
Support graphique pour exercice 3 ( 2ème partie )
Support graphique pour exercices 9 et 10
Un dipôle alimenté par une tension sinusoïdale u=U 2 sin? absorbe un courant i dont la forme est
1) Tracer l'allure de i1 en la superposant à celles de u et de i. En déduire la relation liant ? à ?.
2) Déterminer l'expression de la puissance active P absorbée par le dipôle en fonction de U, I0 et ?. Que vaut P en fonction de U, I1 et ?? En déduire, compte tenu de 1), l'expression de I1 en fonction de I0 et de ?.
3) Déterminer les expressions des puissances réactive Q et apparente S en fonction de U, I0 et ?.
4) A.N.: Pour U=220V, I0 =10A, et ?=0°, 90° et 150°, calculer P, Q, S, la puissance déformante D et le facteur de puissance f.
Pour le montage ci-contre on a e1 =?e'1 =E 2 sin?, e2 =?e'2 =E 2 sin(??2?/3), et e3 =?e'3 =E 2 sin(??4?/3).
On pose Up la valeur efficace d'une tension entre phases au primaire et on note n=E/Up le rapport des nombres de spires ( pour un demi-enroulement au secondaire ).
1) Déterminer les intervalles de conduction de chaque diode puis tracer les allures de u et de vD1.
2) Tracer les allures de is1 et de i's1, puis celles de ip1, ip2, ip3 et iL1. Tracer par ailleurs la somme des courants ip et vérifier qu'elle n'est pas nulle.
3) Déterminer les expressions de la valeur moyenne UC de u et des valeurs efficaces Is1 de is1, Ip1 de ip1 et IL1 de iL1. Que vaut ici le rapport IL1/Ip1?
4) Calculer les valeurs des facteurs de puissance fs au secondaire et fp au primaire du transformateur, puis celle du facteur de puissance en ligne fL =UCIC/( 3 UpIL). Constater qu'ici fL est différent de fp. 5) On remplace le couplage triangle par un couplage étoile sans neutre.
a) Sachant qu'on a alors ip1 = n???23 (is1 ? i' )s1?13(is2 ? i's2 ) ?13(is3 ? i's3 )???, tracer l'allure de ip1 et déterminer sa valeur efficace Ip1.
b) Calculer la nouvelle valeur du facteur de puissance au primaire fp. Comparer le résultat à celui obtenu dans le cas du couplage triangle.
6) On veut UC =250V. Le réseau d'alimentation étant de type 3x380V, calculer n dans le cas du couplage triangle.
3 is1 Soit le montage ci-contre. La tension aux bornes de chaque enroulement primaire, notée V, est égale à 220V. Pour les tracés des courants, on prendra IC =150A.
I) Etude du redresseur PD3
On pose e1 =nV 2 sin?,
e2 =nV 2 sin(??2?/3),
u et e3 =nV 2 sin(??4?/3).
1) Déterminer les intervalles de conduction des diodes puis tracer les allures de u1 et de vD11.
2) Déterminer l'expression de la valeur moyenne U1C de u1.
A.N.: On impose U1C =500V, calculer n et la tension inverse maximale aux bornes de chaque diode.
3) Tracer l'allure de is1 ( échelle: 1carreau=100A ). Calculer sa valeur efficace Is1 puis le facteur de puissance fs1 du redresseur PD3.
II) Etude du redresseur S3
On pose e'1 =n'V 2 sin?, e'2 =n'V 2 sin(??2?/3) et e'3 =n'V 2 sin(??4?/3).
1) Déterminer les intervalles de conduction des diodes puis tracer les allures de u2 et de vD21.
2) Déterminer l'expression de la valeur moyenne U2C de u2. A.N.: On impose U2C =500V, calculer n' et la tension inverse maximale aux bornes de chaque diode.
3) Sachant que i's1 +i's2 +i's3 =0, déterminer la relation liant i's1, i1 et i3. Tracer alors les allures de ces trois courants ( échelle: 1carreau=100A ). Calculer la valeur efficace I's1 de i's1 puis le facteur de puissance fs2 du redresseur S3.
III) Etude de la mise en série
Les valeurs de n et de n' sont celles calculées au I) et au II).
1) Tracer l'allure de u. Que vaut sa valeur moyenne UC?
2) Tracer l'allure de iL1 ( échelle: 1carreau=100A ). Calculer sa valeur efficace IL1 puis le facteur de puissance fp du montage.
Pour le montage P3 ci-dessous on admet dans tout ce qui suit que le courant i est ininterrompu. On pose
e1 =E 2 sin? e2 =E 2 sin(??2?/3) e3 =E 2 sin(??4?/3)
avec E=220V et ?=?0t (?0 =100?rad/s). Par ailleurs, on donne EC =240V, R=1? et on suppose que le rapport des nombres de spires est égal à 1.
1) Tracer l'allure de u, puis calculer sa valeur moyenne UC.
2) On fait l'approximation du premier harmonique. Le courant i peut donc se mettre sous la forme
i = IC ? I1 2 sin(3? ? ?1). a) Calculer IC.
b) Sachant que le premier harmonique de u a pour valeur efficace UC/4 2 , déterminer l'expression de I1 en fonction de UC, R, L et ?0. Application: On veut que le facteur de forme de i soit égal à 1,1. Calculer I1, puis la valeur qu'il faut donner à L.
c) Pour la valeur précédente de L, et pour ?1 =?/2, tracer i, is1 et ip1. Déduire de ip1 les allures de ip2 et de ip3, puis tracer iN.
Le montage ci-contre est constitué d'un transformateur à point milieu et de deux diodes supposées parfaites. Les demi-enroulements secondaires sont caractérisés par leur f.é.m. à vide e1 =?e2 =E 2 sin? avec E=60V et ?=?0t, et par leur inductance ramenée au secondaire L avec L?0 =0,8? à 50Hz. On néglige les autres chutes de tension, et on admet que le courant fourni à la charge est parfaitement lissé.
1) Au moment des commutations, les deux diodes conduisent simultanément pendant une durée angulaire ?0 ( phénomène d'empiétement anodique ). Ecrire les relations entre e1, v1, L?0 et di1/d? d'une part, et entre e2, v2, L?0 et di2/d? d'autre part.
2) En remarquant que u=v1 =v2 et que i1 +i2 =IC, déduire des expressions précédentes que u=0 pendant l'empiétement. En considérant alors par exemple l'intervalle [0;?0], intégrer une des équations pour obtenir l'expression de i1(?). En déduire l'angle d'empiétement ?0. A.N.: Calculer ?0 pour IC =10A. 3) Tracer u=f(?) pour 0???2?+?0. Déterminer l'expression de la valeur moyenne UC de u.
4) On pose ?UC =UC0 ?UC où UC0 représente la tension continue fictive à vide 2 2 E/?. Exprimer ?UC en fonction de L?0 et de IC. A.N.: Pour IC =10A, calculer ?UC, UC0 et ?UC/UC0.
Le redresseur ci-contre est constitué d'un transformateur Dyn, alimenté par un réseau 3x380V?50Hz, et de diodes supposées parfaites.
1) Des essais préliminaires du transformateur ont donné:
à vide: U10 =380V U20 =400V en C.C.: U1c =20V I2c =20A P1c =515W
Calculer le rapport de transformation m et les éléments Rs et Xs du schéma équivalent ramené au secondaire. Déduire de Xs la valeur Ls de l'inductance de fuite correspondante.
2) On néglige dans cette question toutes les chutes de tension. Tracer l'allure, notée u0, de u et calculer sa valeur moyenne UC0.
3) On tient compte de la résistance Rs des enroulements. Déterminer l'expression de u en fonction de u0, Rs et IC et tracer son allure. Exprimer la chute de tension moyenne ?1UC en fonction de Rs et de IC et calculer sa valeur numérique pour IC =30A.
4) Pour tenir compte de l'inductance Ls des enroulements, on étudie par exemple la commutation D3?D1.
a) En prenant le début de conduction de D1 comme origine des angles, déterminer l'expression du courant i1(?) pendant l'empiétement en fonction de U20, Xs et ?. En déduire l'expression de l'angle d'empiétement ?0. A.N.:
Calculer ?0 pour IC =30A.
b) Tracer la nouvelle allure de u, puis exprimer la chute de tension moyenne ?2UC en fonction de Xs et de IC. A.N. Calculer ?2UC pour IC =30A.
7 Soit le montage de la figure 1. On suppose que le quadripôle Q absorbe un courant strictement constant I ( égal à son courant de sortie ) quel que soit l'instant considéré. Pour simplifier, on admet que le blocage du pont redresseur se produit lorsque la tension d'alimentation passe par un extremum. En prenant alors un des instants où e est maximal comme origine des temps, on aura e=E 2 cos?0t avec ?0 =2?/T ( T=20ms ) et l'allure de la tension u(t) sera celle représentée sur la figure 2.
1) 0?t?t1: Toutes les diodes sont bloquées.
e a) Déterminer l'expression de u(t) en fonction de E, I, C et
Compte tenu du fait que u(t1)=U1, exprimer C en fonction de I, t1, E et U1.
b) En remarquant que U1 est aussi la valeur de la tension figure 1 ?tion de e au temps t?0, U1 et E. En déduire celle de C en fonction uni- = t1, déterminer l'expression de t1 en fonc-
Equement de I, T, E et U1.
c) On admet, en plus, que t1 est égal à T/2. Donner, compte tenu de a), l'expression approchée de C.
d) Application: Pour I=1A, U1 =14V et les valeurs suivantes de E, 12V, 15V et 18V, calculer les valeurs de C que l'on obtient à partir des deux relations précédentes.
4t12T34T t Discuter des résultats obtenus. 2) t?t1: Tant que le pont conduit, et en conservant l'ori-
figure 2 gine des temps initiale, exprimer i(t) en fonction de I, C, ?0, E et t. A.N.: Pour I=1A, U1 =14V, C=1000µF et E=15V, calculer t1 et l'expression numérique de i(t). Vérifier que i(T/2) est encore positif, déterminer à l'aide d'une méthode numérique le temps au bout duquel ce courant s'annule et conclure sur l'hypothèse simplificatrice faite initialement.
3) En se plaçant dans l'hypothèse du 1)c), calculer la puissance P dissipée dans le quadripôle Q pour I=1A, U1 =14V, V=12V et les valeurs suivantes de E, 12V, 15V et 18V. Conclusion.
8 On considérera successivement les différents montages PD2 mixtes représentés ci-dessous en admettant qu'ils débitent un courant strictement constant IC.
Pour ?=150°, déterminer les intervalles de conduction des redresseurs puis tracer les allures ? de la tension aux bornes de la charge
? de la tension aux bornes d'un thyristor
? du courant dans un thyristor
? du courant dans une diode
? du courant dans la diode de roue libre ? du courant fourni par l'alimentation.
Que peut-on en conclure en ce qui concerne la possibilité d'un défaut de blocage pour les thyristors?
9 On se propose d'étudier le pont PD3 mixte en considérant qu'il est constitué par l'association d'un montage P3 à thyristors et d'un montage P3 à diodes. On note comme habituellement les trois tensions simples i1 du réseau d'alimentation sous la forme e1 =E 2 sin?,
e2 =E 2 sin(??2?/3) et e3 =E 2 sin(??4?/3).
1) Pour ?=45°, tracer l'allure de vAN. Pour ? quelconque, déterminer l'expression de la valeur moyenne V'ANC de cette tension.
2) Tracer l'allure de vBN. Déterminer l'expression de la valeur moyenne VBNC de cette tension.
3) Déduire de ce qui précède l'expression de la valeur moyenne U'C de u.
Pour le montage PD3 tout thyristors ci-contre, on pose
2 sin?, e2 =E 2 sin(??2?/3) et e3 =E 2 sin(??4?/3) avec
1) Pour ?=90°, tracer les allures de u, vT1 et i1.
2) Pour ? quelconque, déterminer les expressions de la valeur moyenne U' de u, de la valeur efficace I1 de i1 et du facteur de puissance f's au
A.N.: L'angle ? pouvant varier entre 0 et 150°, calculer les valeurs extrêmes que peut prendre U'C et les valeurs correspondantes de f's.
11 Le montage qu'on se propose d'étudier ( voir schéma ci-dessous ) comporte en particulier un transformateur à deux secondaires triphasés indépendants pour lequel on note n=N2/N1 et n'=N'2/N1 les rapports des nombres de spires. On donne n=0,3, n'=3 n ainsi que la tension d'alimentation entre phases du primaire U=400kV.
1) Etude du redresseur PD3
On pose e1 =E 2 sin?, e2 =E 2 sin(??2?/3) et e3 =E 2 sin(??4?/3).
a) Pour ?=30°, déterminer les intervalles de conduction des thyristors puis tracer les allures de u1 et de iS1.
b) Pour ? quelconque, déterminer l'expression de la valeur moyenne U'1C de u1. Mettre celle-ci sous la forme U1Ccos? en donnant l'expression de U1C en fonction de n et de U. A.N.: Calculer U1C. 2) Etude du redresseur S3
On pose e'1 =E' 2 sin?, e'2 =E' 2 sin(??2?/3) et e'3 =E' 2 sin(??4?/3).
a) Pour ?=30°, déterminer les intervalles de conduction des thyristors puis tracer les allures de u2, i1, i3 et de
b) Justifier le fait que les allures de u1 et de u2 sont identiques à un décalage de 30° près. En déduire que la valeur moyenne U'2C de u2 est égale à U'1C.
3) Etude du montage global
a) Pour ?=30°, tracer les allures de u et de iL1.
b) Mettre la valeur moyenne U'C de u sous la forme UCcos? en donnant l'expression littérale de UC en fonction de n et de U. A.N.: Calculer UC.
c) Soit ?1 le déphasage entre v1 et le fondamental de iL1. Quelle relation simple existe-t-il entre ?1 et ??
d) On pose I1 la valeur efficace du fondamental de iL1. Déterminer les expressions des puissances active Pa et réactive Qa au primaire du transformateur en fonction de U, I1 et ?.
e) Le système étant supposé sans pertes, Pa est égale à la puissance P=U'CIC à la sortie du redresseur. En déduire l'expression de I1 en fonction de n et de IC. A.N.: Pour P=500MW et U'C =300kV, calculer IC, ?, I1 et Qa. Sachant que la valeur efficace IL1 de iL1 est donnée par la relation IL1 = 23(2 + 3) nIC , calculer IL1 et les puissances apparente Sa et déformante Da
f) Du fait des puissances mises en jeu, chaque élément de pont est en réalité constitué par une association en série et/ou en parallèle de thyristors. Compte tenu des contraintes de courant et de tension et des possibilités actuelles des thyristors, quelle pourrait être la structure de chaque branche?
12 Soit le montage ci-contre. Au temps t=0, v1 étant égal à 0, on ferme v1(t) l'interrupteur K.
1) Tracer le schéma opérationnel.
2) En posant ?=RC, déterminer l'expression de V(p), en déduire celle de v(t). 3) Esquisser l'allure de v(t). Justifier, par un raisonnement physique, sa valeur initiale ainsi que celle en régime établi.
1) Déterminer l'expression de la fonction de transfert opérationnelle T(p)=V(p)/E(p) du circuit ci-contre.
v(t) 2) Mettre T(p) sous la forme K11++??21pp en donnant les expressions de
K, ?1 et ?2 en fonction de R, R1, C et C1.
3) Déterminer la réponse à un échelon de tension d'amplitude E. Esquisser son allure pour les trois cas
suivants: ?2 =0,5?1 ?2 =?1 ?2 =2?1.
4) Donner l'expression de T(j?). Application: Pour K=0,1, ?1 =0,01s et ?2 =0,1s, tracer les diagrammes asymptotiques de gain et de phase.
1) Déterminer la fonction de transfert opérationnelle T(p)=S(p)/E(p) du circuit ci-contre et la mettre sous la forme 1 10+ ?p avec ?=RC.
1+ ?p
2) Application:
a) Donner l'expression de T(j?). Tracer les diagrammes asymptotiques de gain et de phase correspondants.
b) e(t) est un échelon de tension d'amplitude E. Déterminer l'expression de s(t) et esquisser son allure.
1) Déterminer la fonction de transfert opérationnelle T(p)=S(p)/E(p) du circuit ci-contre et la mettre sous la forme en donnant l'expression de ?.
e(t) 2) Application:
a) Donner l'expression de T(j?). Tracer les diagrammes
asymptotiques de gain et de phase correspondants.
b) e(t) est un échelon de tension d'amplitude E. Déterminer l'expression de s(t). En déduire les valeurs de s(0) et s(?). Retrouver directement ces résultats à l'aide des théorèmes aux limites.
16 R1 1) Déterminer l'expression de la fonction de transfert opération-
nelle T(p)=S(p)/E(p) du circuit ci-contre et la mettre sous la forme 1? ?p en donnant l'expression de ?.
1+ ?p
e(t) 2) Application:
a) Donner l'expression de T(j?). Que vaut son module? Exprimer d'autre part son argument en fonction de ?.
b) e(t) est un échelon de tension d'amplitude E. Déterminer l'expression de s(t) puis esquisser son allure.
17 1) Déterminer l'expression de la fonction de transfert opérationnelle T(p)=S(p)/E(p) du circuit ci-contre.
2) Application: R=1M?, C=1µF, e(t) est un échelon d'amplitude 1V.
a) Vérifier que S(p) peut se mettre sous la forme e(t) S p( ) = ?
b) En déduire l'expression de s(t) puis, à l'aide d'une calculatrice graphique, visualiser son allure pour
0?t?10s.
Le circuit ci-contre est constitué en particulier par un amplificateur opérationnel supposé idéal.
1) En raisonnant dans un premier temps sur l’impédance Z équivalente au circuit R, C et C1, montrer que S(p)=[1+Z(p)/R1]?E(p). Remplacer ensuite Z(p) par son expression en fonction des différents éléments pour obtenir la fonction de transfert T(p)=S(p)/E(p) du circuit.
2) A.N.: R=1M? C=0,7µF R1 =367k? C1 =0,389µF.
a) Vérifier que T(p).
b) Déterminer la réponse s(t) si e(t) est un échelon d’amplitude 1V. N.B.: On décomposera S(p) sous la forme
A+B+ C . p² p p + 4
c) Pour 0,1rad/s???100rad/s, tracer les diagrammes asymptotiques de gain et de phase ( éch.: 5cm=1décade 1cm=5dB 1cm=20° ).
19 H i Soit le hacheur série ci-contre débitant sur une f.c.é.m. variable E'. On pose T la période du hacheur et ? le rapport cyclique. On tient compte des varia-
L tions instantanées du courant mais on suppose dans toute la suite que celui-ci
E reste ininterrompu.
E' 1) Tracer l'allure de u. Déterminer l'expression de sa valeur moyenne UC. En déduire la relation liant E, E' et ?.
2) 0?t??T: H est passant. Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de i. En posant i(0)=I0, résoudre cette équation et déterminer l'expression de i(t) en fonction de E, ?, I0, L et t. Donner l'expression de I1 =i(?T).
3) ?T?t?T: D est passante. En gardant 0 comme origine des temps, déterminer de même l'expression de i(t).
Vérifier que i(T)=I0.
4) Esquisser l'allure de i(t). Déterminer l'expression de sa valeur moyenne IC en fonction de I0 et de I1.
5) On suppose que le montage fonctionne à la limite du courant interrompu ( soit I0 =0 ) et on pose IC0 la valeur moyenne correspondante du courant. a) Exprimer IC0 en fonction de E, ?, T et L.
b) Tracer la courbe IC0 =f(?). Préciser en particulier les coordonnées ?M et IC0M du maximum.
c) Chaque point de fonctionnement du montage peut être caractérisé par le rapport cyclique ? du hacheur et par la valeur moyenne IC du courant débité. Compte tenu des résultats de la question précédente, préciser la zone dans le plan (?;IC) où doit se trouver le point de fonctionnement pour que le courant soit ininterrompu.
On considère le hacheur parallèle ci-contre pour lequel on pose T la période et ? le rapport cyclique.
1) 0?t??T: H est passant. Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de i. En posant i(0)=I0, résoudre l'équation pour déterminer i(t). Donner l'expression de I1 =i(?T).
2) ?T?t?T: Lorsque D est passante, en gardant 0 comme origine des temps, déterminer de même l'expression de i(t) en fonction en particulier de I0.
3) On suppose que le montage fonctionne en courant ininterrompu ( i ne s'annule pas sur l'intervalle [?T;T] ). a) En écrivant que i(T)=I0, retrouver la relation liant E, V et ?.
b) Esquisser l'allure de i(t). En déduire sa valeur moyenne IC en fonction de I0 et de I1.
c) On pose ?i=I1 ?I0. Exprimer ?i en fonction de E, L, ? et T.
d) Déduire des deux relations précédentes les expressions de I0 et de I1 en fonction de IC et de ?i.
e) Application: E=200V ?=0,25 L=5mH IC =10A T=1ms.
Calculer I0, I1 et V, puis tracer les allures de i, iH, iD et vH.
4) On suppose que le montage fonctionne en courant interrompu et on pose t1 le temps compris entre ?T et T au bout duquel le courant s'annule.
a) En reprenant l'expression obtenue au 2) et en tenant compte du fait que I0 =0, écrire la relation liant t1, E, V, ? et T. En déduire l'expression de V en fonction de E, ?, t1 et T.
b) Esquisser les allures de i et de iD. Soit IDC la valeur moyenne de iD. Déterminer la relation liant IDC, t1, ?, E, L et T. En déduire l'expression de t1 en fonction de IDC, ?, E, L et T.
c) Déduire des deux questions précédentes l'expression de V en fonction de E, ?, T, L et IDC. Application: Pour ?=0,25, calculer la valeur moyenne maximale IDCM de IDC pour laquelle le courant reste interrompu puis tracer la courbe V=f(IDC) pour IDCM/10?IDC ?IDCM.
Pour le hacheur à accumulation ci-contre, on pose T la période de fonctionnement et ? le rapport cyclique.
1) On suppose iL ininterrompu.
VC a) Donner les expressions de uL lorsque H conduit, puis lorsque D conduit.
b) En écrivant que la valeur moyenne de uL est nulle, déterminer l'expression de VC en fonction de ? et de E.
2) On suppose iL interrompu.
a) 0?t??T: H est passant. Déterminer l'expression de iL(t). En déduire celle de I1 =iL(?T).
b) ?T?t?T: Lorsque D conduit, en gardant 0 comme origine des temps, déterminer la nouvelle expression de iL(t) en fonction de VC, L, t, E, ? et T. Soit t1 l'instant du blocage de D. En exploitant la condition iL(t1)=0, déterminer l'expression de VC en fonction de ?, T, t1 et E.
c) Esquisser l'allure de i(t). En déduire l'expression de sa valeur moyenne IC en fonction de t1, ?, T, E et L.
d) On considère un fonctionnement à VC En éliminant t1 entre les relations précédentes, déterminer l'expression de IC en fonction de E, T, L, VC et ?. A.N.: E=10V, VC =8V, T=50µs, L=100µH. Calculer la valeur maximale ?M de ? pour que le montage fonctionne en courant interrompu puis tracer la courbe IC =f(?) pour ? compris entre 0 et ?M.
22 On a schématisé ci-dessous un montage de type Flyback fournissant une tension V parfaitement lissée. Le transformateur, supposé idéal, est, vu les orientations choisies, caractérisé par les équations aux inducpassant avec une période T=10µs et un rapport cyclique ?. Par ailleurs, on donne E=300V, L1 =2mH et N1/N2 =60.
1) Entre 0 et ?T, H est passant. Que valent v1 et i2? En partant alors des équations du transformateur, déterminer l’expression de i1(t) en fonction de E, L1, t et d’une constante A.
2) Entre ?T et T, et tant que D conduit, que valent v2 et i1? Compte tenu de ceci, déterminer de même l’expression de i2(t) en fonction de V, L2, t et d’une constante B.
3) On admet dans tout ce qui suit que le montage fonctionne en démagnétisation complète. Le courant i2 s’annule donc à un instant, noté t1, compris entre ?T et T.
a) Que vaut ? juste avant l’amorçage de H? En utilisant le fait que le flux ne peut pas subir de discontinuité, déterminer la valeur de i1(0), en déduire celle de A puis déterminer l’expression de I1 =i1(?T) en fonction de E, L1, ? et T.