Exercices corriges sur l’energie electrique
Exercices corrigés sur l’énergie électrique
Vitesse des porteurs de charges :
On dissout une masse m = 20g de chlorure de sodium NaCl dans un bac électrolytique de longueur l = 20 cm et de section
S = 10 cm x 10 cm rempli d’eau. La dissolution est totale.
On fait passer un courant d’intensitéI = 100 mA entre deux électrodes situées aux extrémités de la cuve.
Données : masses molaires :
M(Cl) = 35, 5 g.mol−1 et M(Na) = 23 g.mol−1.
Nombre d’AVOGADRO est NA = 6,02.10−23 mol−1 ; charge élémentaire est e = 1, 6.10−19 C.
¨ Q : Sachant que les vecteurs vitesse des ions chlorure et des ions sodium sont de sens opposés et dans le rapport 1, 5, déterminer la vitesse et le sens de déplacement de ces ions. Rép : v(q = 2,4.10−7 m.s−1 ; v−~ = 3,6.10−7 m.s−1.
Semi-conducteur : Les semi-conducteurs sont des matériaux utilisés en électronique
et dont la conduction varie fortement avec la température ou avec la présence d’impureté. Dans un semi-conducteur, il existe deux types de porteurs de charge :
o les électrons, de charge qe = −e, de densiténe ;
o et les trous, de charge qp = +e, de densiténp.
À une température donnée, du fait des propriétés dues aux liaisons internes au semi-conducteur, le produit nenp = n2i est constant.
La présence d’impuretés (= atomes ‘étrangers’ au réseau) permet de modifier ne et np tout en maintenant le produit nenp constant.
En l’absence d’impuretés, ces deux valeurs sont égales : ne = np = ni.
Pour le silicium, nous avons : ni = 1, 5.1016 m−3.
Dans les conditions d’étude, la vitesse des électrons est ve = 12 cm.s−1 et celle des trous vp = 5 cm.s−1.
1) Déterminer la densitéde courant du silicium dans les conditions d’étude.
2) Comment varie la densitéde courant j avec ne ? Tracer l’allure de la courbe correspondante j = j(ne) et expliquer l’intérêt de la présence d’impuretés dans le silicium utiliséen électronique.
Rép : 1) j = 4,1.10−4 A.m−2 ;
/vP
2) jmin = j0 = 3, 7.104 A.m−2 pour ne,0 = ni = 9, 7.1015 m−3.
n Calculs de tensions et de courants
Réseau à deux mailles
Déterminer, pour le circuit ci-contre, l’intensitéi qui traverse la résistance R2 et la tension u aux bornes de la résistance R3 :
1) en faisant des associations de résistances et en appliquant le diviseur de tension.
2) en faisant une transformation THÉVENIN → NORTON et en appliquant le diviseur de courant.
3) Application numérique pour E = 6 V , R1 = 100 Q, R2 = R3 = R4 = 50 Q
R3E _ R3(R2 + R4)E
Rép : 1/2) i = R1 R3 + (R1 + R3)(R2 + R4) ; u R1R3 + (R1 + R3)(R2 + R4) ;
3) i=15mAetu=1,5V.
Circuit linéaire
Dans le circuit ci-contre :
1) Calculer UEF,
2) Calculer l’intensitéI0 circulant dans la branche principale;
3) Calculer l’intensitéI' circulant dans la branche contenant le générateur E' (préciser son sens) ;
4) Calculer les intensités i1, i2 et i3. Données :
R = 1Ω, E = 5V etE'=3V.
Rép : UEF ^_ 1, 67 V ; I0 ^_ 0, 83 A; I' ^_ 0,17 A; i1 = i3 ^_ 0,33 A; i2 ^_ 0,17 A.
`Ex-E2.3~ Distribution de courant sur les arêtes d’un cube
Le courant d’intensitéI arrive sur le sommet A d’un cube dont les arêtes sont constituées par un fil métallique; chaque arête a une résistance r. Le courant ressort par le sommet H opposéà A.
1) Calculer les intensités dans chaque branche.
2) Soit VA = V et VH = 0 V les potentiels des points A et H. Calculer les potentiels des différents sommets.
3) Quelle est la chaleur dissipée dans le cube par unitéde temps ? A.N. : I = 500 mA et r = 0,2 Ω.
Rép : 2) VE = VF = VG = r3=5V ; VB = VD = VC = VA − r3=5V ; 3) Pi = dQ = 5rI2 ^_ 42 mW.
n Association de générateurs
Modélisation de Thévenin (1)
Donner le générateur de THÉVENIN équivalent au circuit ci-contre entre A et B.
Rép : Réq = 2 et ETh = e + Rq.
Modélisation de Thévenin (2)
Résistance équivalente d’un réseau dipolaire (2)
Chaque trait représente un résistor de résistance R.
Déterminer la résistance équivalente de ce réseau vu des points :
1) A et C (5R/4) 2) A et E (3R/2) 3) A et F (7R/8)
4) B et D (5R/6) 5) H et D (R) 6) A et B (17R/24)
7) B et F (7R/12) F
Théorème de Kennelly (Àcomprendre !)
On considère les deux circuits ci-dessous : celui de gauche est appeléle circuit « étoile » et celui de droite circuit «triangle ». Exprimer les résistances r1,r2 et r3 du circuit étoile en fonction des résistances R1, R2 et R3 du circuit triangle pour que les deux circuits soient équivalents. La relation obtenue constitue le théorème de KENNELLY.
R2R3
Rép : r1 = , r2 et r3 se déduisent par permutation circulaire des indices.
R1 + R2 + R3
Résistance équivalente d’un réseau dipolaire (3)
1) Calculer la résistance équivalente du réseau suivant :
- en utilisant les lois de KiRCxoFF.
- en utilisant les regroupements de résistances (série, pa¬rallèle, triangle-étoile).
2) On applique entre A et B une tension U = 11 V .
Calculer l’intensitédu courant dans la branche CD avec : R1 = 2R, R2 = 4R , et R = 1 Q.
2R1R2 + RR1 + RR2 U
Rép : 1)R´eq = ; 2) I = IC→D = 11R = 1 A.
2R + R1 + R2
n Équation différentielle et Conditions initiales d’un circuit
Deux bobines réelles en parallèle
Déterminer, dans le cas particulier oùR1L2 = R2L1, l’équation différentielle liant la tension u et le courant i dans le montage
ci-contre, constituéde deux bobines réelles en parallèle. Rép : (L1 + L2)u = L1L2 ddi + R2L1i
Deux condensateurs réels en série
Déterminer l’équation différentielle liant la tension u et le courant i dans le montage ci-contre, constituéde deux conden¬sateurs avec fuite en série. On notera u1 et u2 les tensions aux bornes de chaque condensateur.
Rép : Cas où R2C2 = R1 C1 : (C1 + C2)i = C1 C2 C1
du u + u. dt R2
Filtre de Wien (Exercice important!)
Le montage ci-contre comporte deux résistances identiques R et
deux condensateurs de capacités identiques C.
1) Écrire l’équation différentielle liant la tension de sortie v aux
bornes du condensateur et la tension d’entrée u.
2) À l’instant initial, les deux condensateurs sont déchargés et la tension u = E est constante.
dv
Déterminer les conditions initiales portant sur v et dt juste après le branchement du circuit :
Dv v(0+) et dt (0+).
Rép : 1) dt = RC dt2 +3dv dt + vRC ; 2) v(0+) = 0 et dvdt (0+) = ERC .
Bobine réelle en série avec un condensa
teur avec fuites
Une bobine réelle d’inductance L possède une résistance r. Elle est placée avec un condensateur de capacitéC et de résistance de fuite R.
1) Déterminer l’équation différentielle liant l’intensitéi et la tension u.
2) À t = 0, la tension aux bornes du condensateur vaut v0 et pour t ≥ 0, on impose u = 0 grâce à un court-circuit.
Juste après l’installation du court-circuit, que valent i(0+) ? v(0+) ? di dt(0+) ? et dv dt (0+) ? 2
Rép : 1) LC dt2 +IrC+RI dt+(1 + R)i=uR+Cdt 2) i(0+) = 0; v(0+) = v0 ; dt(0+) = −v0
di L ; dv dt (0+) = RC .
v0
Solution Ex-E2.1
1) Après avoir introduit et nomméles nœuds, on peut introduire la résistance équivalente à R2 et R4 qui sont en série : R5 = R2 + R4
- Il apparaît que R3 est en parallèle avec R5. En simplifiant:
- On reconnaît un diviseur de tension, R1 et R6 étant en série, sou
R6 R3R5 E
mises à la tension E : UAB = E =
R1 + R6 R3 + R5 R1 + R3R5
4R3+R5
R3(R2 + R4)
u = UAB = R1R3 + (R1 + R3)(R2 + R4)E
- i = R B sur le premier schéma équivalent.
R3E
i = R1R3 + (R1 + R3)(R2 + R4) .
Rque : Attention! i n’apparaît plus sur le second schéma équivalent. Il fallait revenir au premier schéma équivalent pour l’exprimer.
2) On introduit et on nomme les nœuds. On reconnaît un générateur de THÉVENIN de f.é.m. E et de résistance interne R1 entre A et B. On peut faire une transformation THÉVENIN → NORTON.
Il apparaît le c.é.m. :
- R0 est en parallèle avec R5, mais on ne simplifie pas! car: - on cherche i - on reconnaît un diviseur de courant au nœud A alimentépar η :
e Puisque UAB = R5i, on retrouve : R3(R2 + R4)
u = UAB = E
R1R3 + (R1 + R3)(R2 + R4)
Solution Ex-E2.2
1) On reconnaˆıt un montage « Diviseur de tension » entre D et F, donc : R
UEF = R + 2RE0 = 1 V
2) e Il faut d’abord exprimer la résistance équivalente Req entre B et C.
R 2
Req = (R//R)//2R = 2 //2R = 5R
e Du point de vue de la branche principale, la branche {D, 2R, R, F} est inutile puisqu’une force éloctromotrice E0 en parallèle impose la tension à ses bornes.
On peut donc l’enlever sur un schéma équivalent.
Il apparaît deux forces électromotrices en série qui s’oppose : on peut donc les remplacer par une seule et unique f.é.m. de valeur E0 = E − E0 = 2 V et de même sens que E.
e Le circuit est maintenant équivalent à un circuit formé d’une seule maille - parcourue par I0,
- constitué d’une f.é.m. E0 de même sens que I0
- et d’une résistance équivalente 12
R0 = R + Req + R = 5 R .
3) e Pour connaître l’intensité I0 circulant dans la branche contenant E0 on calcule d’abord l’intensité I00 qui circule de D vers F dans la branche contenant les résistances 2R + R = 3R soumises à la tension E0.
E0
La loi d’Ohm donne, en convention récepteur : I00 = 3R = 1 A
e On en déduit donc, d’après la loi des nœuds et en définissant I0 par rapport à E0 en convention
On reconnaît ensuite entre B et C un diviseur de courant :
e On a donc : i1 = Gé I0 = Req I0
q
G2 Req
e De même : i2 = I0 = 2R I0 =~
Geq
Groupement diode idéale-résistances Représenter la caractéristique Intensité-Tension I(U) du di
pôle équivalent au groupement entre les points A et B.
Diviseur de Tension (Généralisation)
Montrer que la loi à laquelle obéit ce diviseur de tension est :
R2
UAB = e0
R1 + R2 R1R2
i
R1 + R2
Alimentation d’une diode (*)
Le montage de la figure ci-contre montre un ensemble de générateurs associés avec une résistance R3 et une diode à jonction. Celle-ci est idéale, sans résistance dynamique, et possède une tension de seuil US.
En supposant que la diode est polarisée dans le sens direct, et est parcourue par un courant i non nul, exprimer i en fonction de e1, e2, US, R1, R2, R3, r1 et r2.
À quelle condition portant sur ces grandeurs l’hypothèse i =~ 0 est-elle justifiée ?
R3(r2 + R2)e1 + R3(r1 + R1)e2
Rép : i > 0 pour > US
R3 (r2 + R2 + r1 + R1) + (r1 + R1) (r2 + R2)
Déterminer la valeur maximale Emax de la tension continue E pour que la diode ZENER ne claque pas. Les caractéristiques de la diode ZENER sont :
o la tension ZENER UZ ;
o p la résistance dynamique en régime ZENER;
o Pmax la puissance maximale que la diode peut recevoir;
o imax et Vmax l’intensité et la tension maximales que la diode supporte en régime ZENER.
2 ( RI R) −RUZ
Rép : Emax = (UZ + ~UZ + 4pPmax) 1 + I +
p p
Équivalence entre générateur de tension et générateur de courant (*)
Soit le circuit ci-contre avec : E = 4 V , r = 2 Ω.
E' est un électrolyseur de force contre-électromotrice égale à
E' = 1,5 V .
Entre A et B, la résistance totale est de 12 Ω.
On pourra poser : R2 = x et R1 = 12 − x.
→ Déterminer la valeur de l’intensité i dans la branche de l’électrolyseur en fonction de la position du curseur du po¬tentiomètre, donc de la valeur de x.
8x − 66
Rép : i = 12x − x2 + 24 pour i > 0, ce qui revient à dire que 8,25 Ω
n Réseaux linéaires en régime continu
Un pont de WEAHTSONE est un montage électrique permettant de déterminer une résistance inconnue.
1) Équilibrage du pont
La résistance à déterminer est R1.
Les résistances R3 et R4 sont fixes et connues. R2 est une résistance variable dont on connaît la valeur.
Le pont est dit équilibré lorsque la tension u mesurée entre C et D est nulle.
- a) Déterminer la tension u en fonction de E et des résistances R1, R2, R3 et R4.
- b) À quelle condition le pont est-il équilibré? Déterminer alors R1. Données : R3 = 100Q; R4 = 5 kQ ; R2 = 1827Q; E = 6 V .
- c) Le voltmètre indique la tension «u = 0» si, en réalité, on a : juj
→ Dans le cadre de l’application numérique de la question b), donner la précision sur la mesure de R1.
2) Présence d’une Lé.m parasite
Le pont précédent est supposé équilibré, c’est-à¬dire qu’on a rigoureusement u = 0.
Nous allons maintenant étudier l’influence d’une force électromotrice e sur l’équilibre du pont (e est placé en série avec la résistance; cela peut modéliser une tension apparue lors du contact de deux matériaux de nature chimique différente.)
- a) Exprimer la tension u apparue à cause de la présence de e.
- b) On veut que l’influence de e soit négligeable au cours de la mesure.
On estime que cette influence est négligeable si juj
→ Quelle est alors la condition portant sur e ?
On rappelle qu’on a R3 = 100 Q; R4 = 5 kQ ; R2 = 1827 Q et E = 6 V .
E ; 1.b) R1 = 36,5 Q; 1.c) R1 = 36,5 ± 0, 3 Q;
R2e
2.a) Appliquer le principe de superposition; u = ; 2.b) j e j
R1 + R2
Ex-E3.2✆ Théorème de Millman
1) Énoncer la loi des nœuds en termes de potentiels pour le nœud N dans le montage ci-contre. En déduire le courant i dans la résistance R.
2) Trouver cette même intensité i en utilisant les transformations THÉVENIN H NORTON.
E1R2R3 + E2R3R1 + E3R1R2
Rép : i = R1R2R3 + R(R2R3 + R1R2 + R1R3)
Déterminer les courants I1, I2 et I3 du montage ci-contre.
Rép :
E2 − E1 E3 − E2 E1 − E3
I1 = 2R ; I2 = R ; I3 = 2R
✝ Ex-E3.4✆ Loi des nœuds en termes de po-tentiels
Le nœud B est connecté à la masse du circuit de la figure ci-contre.
On donne: η = 15A; R = 1Q etE=1V.
1) Déterminer les relations entre VA, VC et VD en appliquant la loi des nœuds en termes de potentiels aux nœuds A, C et D.
2) Un voltmètre numérique, branché entre B et D, mesure uDB = 10 V . → En déduire les valeurs de VA et VC.
Rép: VA=24VetVC=18V.
Ex-E3.5✆ Théorème de superposition et théorème de Millman
Déterminer l’intensité i du courant qui circule dans la branche B2MA2 en considé
rant deux états successifs du circuit et en appliquant le théorème de MiLLMAN.
Rép : i =6R(21+ E2)
✝ Ex-E3.6 ✆ Pont double
Soit le circuit ci-contre tel que ab' = a'b.
La résistance variable, entre C (curseur du potentiomètre ED) et D, est notée R.
→ Exprimer x, la résistance à mesurer, en fonction de R, lorsque le pont double est équilibré (= courant nul dans le galvanomètre G qui se comporte comme une faible résistance).
Rép : x = b R