Cours d'initiation aux mathematiques financieres
MATHEMATIQUESFINANCIERES
DENIS CLARINVAL
MICROECONOMIE FINANCIERE
On remarque sur les courbes que l’utilité à consommer est une fonction décroissante ; à mesure que notre consommation s’accroît, son utilité diminue forcément.
Des courbes d’utilité intertemporelle à la carte d’indifférence.
Le graphique de gauche nous présente les courbes d’indifférence dans un espace tridimensionnel ; le graphique de droite nous est familier puisqu’il nous présente le point d’équilibre comme point de tangence de la droite du budget avec la courbe d’utilité la plus élevée.
Le graphique 1.5 nous présente la courbe d’investissement ; cette courbe est décroissante en raison notamment de la courbe spécifique du CTL et des rendements d’échelle généralement croissants puis décroissants.
Sur le graphique 1.6, l’investisseur réserve une partie de son budget pour le consacrer à l’investissement productif (point D) ; toutefois à ce point D, la pente de la courbe d’investissement est plus forte que celle de la courbe d’utilité ; l’investisseur a tout intérêt à accroître son investissement jusqu’au point Y ; en ce point de tangence des 2 courbes, cellesci sont de même pente ; en outre l’investisseur atteint en ce point une courbe d’utilité plus élevée.
Les principes de l’économie financière : le marché des capitaux, le taux d’intérêt et l’investissement.
Aux facultés de consommer et de réaliser des investissements productifs, s’ajoute à présent, pour le consommateur, la faculté d’effectuer des placements sur le marché des capitaux. Sur le graphique ci-dessous, la droite Z0’Z1’ représente la droite du marché des capitaux ; sa pente exprime le taux de rendement, c’est-à-dire le coût des capitaux sur ces marchés. Le consommateur qui a réservé une partie de son budget va d’abord placer jusqu’au point D ; toutefois, à ce point,la pente de la droite de marché est plus forte que la pente de sa courbe d’utilité (TMS) : il a donc tout intérêt à placer jusqu’au point Y, là où les pentes sont identiques ; remarquons qu’en ce point Y, point de tangence de la droite de marché avec la courbe d’utilité, le consommateur atteint sa courbe d’utilité la plus élevée.
Sur le graphique ci-dessous, les 3 fonctions de consommation, d’investissement productif et de placement sont représentées.
Le problème de l’investissement sur un marché de biens et de capitaux se résout en deux temps :
- Tout d’abord le consommateur cherche à optimiser son investissement productif en progressant le long de la courbe d’investissement du point B au point D, puis au point Y ; en Y, la pente de la courbe d’investissement est cependant plus forte que celle de la droite de marché : en d’autres termes, l’investissement a un taux de rendement supérieur au taux d’intérêt : l’investisseur emprunte donc sur le marché des capitaux pour financer un investissement supplémentaire et se hisser au point X : c’est en ce point que le rendement de l’investissement est identique au taux d’intérêt.
- Dans un second temps, le consommateur cherche à optimiser sa fonction de consommation : au point X, si la droite de marché et la courbe d’investissement sont de même pente, la courbe d’utilité à consommer est plus forte ; le consommateur choisit donc d’emprunter au taux du marché pour financer un surcroît de consommation et atteindre, au point E, une courbe d’utilité plus élevée.
Comme on le remarque, les décisions d’investir et de consommer sont prises séparément et indépendamment l’une de l’autre ; tel est l’objet du célèbre « théorème de séparation économique de FISCHER ».
Ce théorème est au fondement même de la réalité économique puisqu’il signifie qu’en raison de la séparation des décisions d’investir et de consommer, des individus peuvent diverger par leurs préférences de consommation tout en partageant les mêmes préférences d’investissement, ce qui leur permet naturellement de créer des entreprises.
Mathématiques financières : synthèse des formules.
Les valeurs futures : l’accumulation.
Combien vaut dans t années 1 € dont on dispose aujourd’hui (temps 0) et que l’on peut placer au taux d’intérêt annuel i ?
VFt = VA . (1 + i)t
Si i1 ? i2 ? i3 ? …. ? it , VFt = VA . (1 + i1)1 (1 + i2)1 . …. . (1 + it)1
Les valeurs actuelles: l’actualisation.
Combien vaut aujourd’hui (temps 0) 1 € à recevoir dans t années et que l’on ne peut donc pas placer aujourd’hui au taux d’intérêt annuel i ?
VA = VFt . ------------
(1 + i)t 1
Si i1 ? i2 ? i3 ? …. ? it , VA = VFt . -----------------------------------------(1 + ii)1 . (1 + i2)1 . ….. . (1 + it)1
Le cas des annuités constants: l’accumulation.
Quelle est la valeur dans t années de 1 € à recevoir à chaque fin d’année (= annuité A) jusqu’à l’année t sachant que le taux d’intérêt annuel i est constant ?
(1 + i)t – 1
VFt = A . --------------
i
Le cas des annuités constants: l’actualisation.
Quelle est la valeur aujourd’hui de 1 € à recevoir à chaque fin d’année (= annuité A) jusqu’à l’année t, sachant que le taux d’intérêt annuel i est constant ?
(1 + i)t – 1
VA = A . --------------
i . (1 + i)t
Le cas des remboursements d’emprunts : le remboursement fractionné.
Pour un emprunt de 1 € contracté aujourd’hui (temps 0), quel montant constant faut-il verser au prêteur à chaque fin d’année pendant t années pour rembourser totalement cet emprunt au terme de ces t années, sachant que le taux annuel d’intérêt i est constant ?
i . (1 + i)t
A = VA . ----------------
(1 + i)t – 1
Le cas des remboursements d’emprunts : le remboursement en bloc par capitalisation.
Pour un emprunt contracté aujourd’hui (temps 0), quel montant constant faut-il verser à chaque fin d’année pendant t années à un fonds de capitalisation productif d’un taux d’intérêt annuel i constant, pour rembourser 1 € au terme de l’année t ?
i
A = VFt . ---------------
(1 + i)t – 1
Applications.
- Combien vaudront dans 10 ans 1.000 € dont on dispose aujourd’hui et que l’on peut placer au taux d’intérêt annuel de 8 % ?
- Combien valent aujourd’hui 10.000 € à recevoir dans 10 ans et que l’on ne peut donc pas placer aujourd’hui au taux d’intérêt annuel de 10 % ?
- Quelle sera la valeur dans 8 ans de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ?
- Quelle est la valeur aujourd’hui de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année pendant 8 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ?
- Si j’emprunte aujourd’hui 10.000 € ; quel montant constant devrai-je verser à mon banquier à chaque fin d’année durant 10 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 8 % ? Etablir le tableau d’amortissement (feuille suivante !)
- Je souhaite contracter aujourd’hui un emprunt aux conditions suivantes : je souhaite rembourser, en un seul bloc 20.000 € dans 10 ans ; quel montant dois-je verser à chaque fin d’année à un fonds de capitalisation dont le taux d’intérêt annuel constant est de 6 %.
Tableau d’amortissement.
Année Annuité Capital Intérêts Solde restant dû
RESOLUTION.
Exercice n° 1.
Combien vaudront dans 10 ans 1.000 € dont on dispose aujourd’hui et que l’on peut placer au taux d’intérêt annuel de 8 % ?
VFt = VA . (1 + i)t
VF10 = 1000 x (1 + 0,08)10 = 1000 x 2,158924997 = 2.158,9250
Exercice n° 2.
Combien valent aujourd’hui 10.000 € à recevoir dans 10 ans et que l’on ne peut donc pas placer aujourd’hui au taux d’intérêt annuel de 10 % ?
1 VA = VFt . ------------ (1 + i)t |
VA = 10.000 x ?1 / (1 + 0,10)10? = 10.000 x ?1 / 2,59374246? = 3.855,43
Exercice n° 3.
Quelle sera la valeur dans 8 ans de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ?
(1 + i)t – 1 VFt = A . -------------- i |
(1 + 0,06)8 – 1
VF8 = 2000 x ------------------ = 2000 x (0,593848074 / 0,06) = 19.794,9358 0,06
Exercice n° 4.
Quelle est la valeur aujourd’hui de 2.000 € à recevoir à chaque fin d’année pendant 8 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 6 % ?
(1 + i)t – 1 VA = A . -------------- i . (1 + i)t |
(1 + 0,06)8 – 1
VA = 2000 x ----------------------- = 2000 x (0,5938 / 0,0956) = 12.419,5876
0,06 x (1 + 0,06)8
Exercice n° 5.
Si j’emprunte aujourd’hui 10.000 € ; quel montant constant devrai-je verser à mon banquier à chaque fin d’année durant 10 ans, sachant que le taux d’intérêt annuel constant est de 8 % ? Etablir le tableau d’amortissement (feuille suivante !)
i . (1 + i)t
A = VA . ----------------
(1 + i)t – 1
0,08 x (1 + 0,08)10
A = 10.000 x ----------------------- = 10.000 x (0,172713999 / 1,158924997) = 1490,294887 (1 + 0,08)10 – 1
Tableau d’amortissement.
Capital 10 000,0000 €
Taux 0,0800 €
Années Annuité Intérêts Capital Solde dû
1 1 490,2949 € 800,0000 € 690,2949 € 9 309,7051 €
2 1 490,2949 € 744,7764 € 745,5185 € 8 564,1866 €
3 1 490,2949 € 685,1349 € 805,1600 € 7 759,0266 €
4 1 490,2949 € 620,7221 € 869,5728 € 6 889,4539 €
5 1 490,2949 € 551,1563 € 939,1386 € 5 950,3153 €
6 1 490,2949 € 476,0252 € 1 014,2697 € 4 936,0456 €
7 1 490,2949 € 394,8836 € 1 095,4113 € 3 840,6343 €
8 1 490,2949 € 307,2507 € 1 183,0442 € 2 657,5902 €
9 1 490,2949 € 212,6072 € 1 277,6877 € 1 379,9025 €
10 1 490,2949 € 110,3922 € 1 379,9027 € -0,0002 €
Totaux 14 902,9490 € 4 902,9488 € 10 000,0002 € -
Coût de l'emprunt : 14902,95 - 10000 = 4902,95
Exercice n° 6.
Je souhaite contracter aujourd’hui un emprunt aux conditions suivantes : je souhaite rembourser, en un seul bloc 20.000 € dans 10 ans ; quel montant dois-je verser à chaque fin d’année à un fonds de capitalisation dont le taux d’intérêt annuel constant est de 6 %.
A = 20.000 x -------------------- = 20.000 x (0,06 / 0,790847696) = 1517,359165 (1 + 0,06)10 – 1
Application de la formule utilisée pour l’exercice n° 3:
(1 + 0,06)10 – 1
VF10 = 1517,359165 x ------------------- = 20.000 0,06
MATHEMATIQUES FINANCIERES (CHAPITRE I et IV)
EXERCICES
Exercice n° 1.
Monsieur Dupont a gagné 100.000 € à un jeu de hasard ; il décide de placer cet argent sur un livret d’épargne durant 10 ans ; le taux d’intérêt annuel est de 8 %. Chaque année les intérêts perçus sont versés sur le livret et produisent à leur tour un intérêt.
- Combien percevra-t-il au terme de la 10ème année ?
- Sur la base du résultat obtenu à la question précédente et des données de l’énoncé, retrouver la durée du placement.
Exercice n°2.
Monsieur Durand contracte auprès de sa banque préférée un emprunt de 100.000 € remboursable en 10 annuités constantes ; le taux mensuel de chargement est de 0,5 %.
- Déterminer, en utilisant la méthode légale, le taux d’intérêt annuel approximatif.
- Calculer, à partir de ce taux approximatif, le montant de l’annuité.
- Etablir le tableau d’amortissement sur 10 ans (voir feuille annexe).
- Calculer, à partir du taux mensuel de chargement, le montant de l’annuité (et comparer avec le résultat obtenu au moyen du taux approximatif).
- Etablir le tableau d’amortissement sur 10 ans (voir feuille annexe).
Exercice n° 3.
Monsieur Patience recevra, dans 8 ans, la somme de 50.000 € ; il est désespéré à l’idée que s’il disposait actuellement de cet argent, il pourrait le placer au taux d’intérêt annuel (très préférentiel) de 10 %.
- Combien valent actuellement les 50.000 € à recevoir dans 8 ans ?
- Sur la base du résultat obtenu à la question précédente et des données de l’énoncé, retrouver le nombre d’années à attendre avant de percevoir enfin les 50.000 €.
Exercice n° 4.
Capucine a décidé de verser à son neveu Grégoire, chaque année et durant 20 ans, une rente de 5.000 € ; le taux d’intérêt annuel constant est de 8%. Grégoire souhaite connaître, en valeur actuelle, le montant total de la rente.
Exercice n° 5.
Monsieur Léon souhaite prendre sa retraite (dans 20 ans) sous des cieux plus cléments. Il décide en conséquence de verser chaque année la somme de 2.000 € à un fonds de capitalisation ; ce dernier produit un intérêt annuel constant de 6 %. De combien disposera Monsieur Léon au moment de sa retraite ?
Exercice n° 6.
Mademoiselle Lucie souhaite contracter un emprunt aux conditions suivantes : elle veut rembourser 100.000 € en un seul bloc dans 10 ans ; elle décide en conséquence de verser, chaque année, une certaine somme d’argent à un fonds de capitalisation dont le taux d’intérêt annuel constant est de 9 %.
- Quel montant devra-t-elle verser chaque année ?
- Vérifier qu’en versant chaque année cette somme à ce fonds de capitalisation, elle disposera bien au terme de son épargne de la somme souhaitée.
- Quelle est, pour la banque, la valeur actuelle de la somme qui sera encaissée dans 10 ans ?
Exercice n° 7.
Madame Irma souhaite contracter un emprunt auprès de la société Assurfinance aux conditions suivantes : emprunt de 10.000 € remboursables en 36 mensualités avec un TAEG de 7 %.
- Déterminer le montant de la mensualité.
- Déterminer le taux mensuel de chargement et vérifier qu’il s’agit bien d’un taux de chargement.
A partir de ce taux de chargement déterminer selon la méthode légale d’approximation, le taux annuel.
- Calculer la mensualité à l’aide de ce taux approximatif et vérifier la concordance avec la mensualité annoncée.
Exercice n° 8.
- Pour l’exercice n°2, retrouver, au moyen de l’interpolation linéaire, le taux d’intérêt approximatif (légal).
- Pour l’exercice n°3, retrouver, au moyen de l’interpolation linéaire, le taux d’intérêt approximatif (légal).
- Pour l’exercice n°4, retrouver, au moyen de l’interpolation linéaire, le taux d’intérêt approximatif (légal).
- Pour l’exercice n°5, retrouver, au moyen de l’interpolation linéaire, le taux d’intérêt approximatif (légal).
- Pour l’exercice n°6, retrouver, au moyen de l’interpolation linéaire, le taux d’intérêt approximatif (légal).
… … …
- Temps réel et temps fictif.
On estime que l’unité de temps choisie peut être fractionnée en un nombre fini de périodes plus courtes. Ces périodes ne sont cependant pas toujours de durée égale, même si elles sont exprimées par les mêmes unités. Si la période considérée est l’année, le mois sera représenté par la fraction 1/12, quel que soit le mois ; le jour sera, quant à lui, représenté par la fraction 1/360 ou 1/365 selon que l’on prend pour référence respectivement l’année commerciale ou l’année civile.
En temps réel (correspondant à l’année civile), les jours sont comptés conformément au calendrier ; en temps fictif (correspondant à l’année commerciale), l’année de 360 jours comprend 12 mois de 30 jours. Le travail par jours nous offre donc 4 possibilités.
Application.
Calculer l’intérêt rapporté par 2000 € placés à 6 % l’an du 20 avril au 1er juillet de la même année.
Calcul du temps réel (nombre de jours).
avril Mai juin juillet Total
10 31 30 1 72
Calcul du temps fictif (nombre de jours).
avril Mai juin juillet Total
10 30 30 1 71
Calcul de l’intérêt en temps réel dans une année réelle.
I = 2000 . 0,06 . (72/365) = 23,67
Calcul de l’intérêt en temps réel dans une année fictive.
I = 2000 . 0,06 . (72/360) = 24
Calcul de l’intérêt en temps fictif dans une année fictive.
I = 2000 . 0,06 . (71/360) = 23,67
Calcul de l’intérêt en temps fictif dans une année réelle.
I = 2000 . 0,06 . (71/365) = 23,34
Curieusement la 1ère méthode, bien qu’elle soit la plus rationnelle, n’est pas la plus utilisée ; les organismes financiers ont coutume pour le calcul de l’intérêt qui leur est dû, d’utiliser le calcul du temps réel dans une année de référence fictive. Cette méthode est évidemment celle qui leur garantit la plus grande rémunération du capital.
Il n’est pas rare que des organismes financiers travaillent par quinzaine pour calculer l’intérêt dû aux épargnants. Dans ce cas, on enregistre les versements le 1er et le 16 de chaque mois ; chaque quinzaine représente u/24ème d’année.
Dans notre exemple, on calcule les quinzaines de la façon suivante :
avril Mai juin juillet Total
0 2 2 0 4
L’intérêt devient : I = 2000 € . 0,06 . (4/24) = 20.
On remarque que, à taux égal de 6 % l’an, la rémunération du capital est sensiblement plus basse.
- L’utilisation de la table donnant le numéro de chaque jour à partir du 1er janvier.
Il n’est pas nécessaire de sommer les jours de chaque mois pour calculer la durée réelle. On peut en effet utiliser une table particulière. L’exemple 1 traite du cas où les 2 dates de référence appartiennent à la même année ; l’exemple 2 traite du cas où l’intervalle de temps considéré est à cheval sur 2 ans.
Exemple 1.
Calculer le nombre de jours écoulés entre le 25 février et le 20 août de la même année.
La table donne : 20 août = n° 232 et 25 février = n° 56 La différence 232 – 56 = 176 donne le nombre jours cherchés.
Exemple 2.
Calculer le nombre de jours écoulés entre le 15 novembre et le 16 mai de l’année suivante.
La table donne : 16 mai = n° 136 + 365 = 501 (il faut ajouter une année entière !) et 15 novembre = n° 319
La différence 501 – 319 = 182 donne le nombre de jours cherchés.
Remarque.
Lorsque l’année est bissextile, il convient d’ajouter un jour à la différence lorsque le 29 février est compris dans l’intervalle de temps qui nous intéresse.
Tableau permettant de déterminant le n° de chaque jour de l’année à partir du 1erjanvier.
Jour du mois |
Numéro de chaque jour de l’année |
Jour du mois |
|||||||||||
JAN |
FEV |
MAR |
AVR |
MAI |
JUN |
JUL |
AOU |
SEP |
OCT |
NOV |
DEC |
||
1 |
1 |
32 |
60 |
91 |
121 |
152 |
182 |
213 |
244 |
274 |
305 |
335 |
1 |
2 |
2 |
33 |
61 |
92 |
122 |
153 |
183 |
214 |
245 |
275 |
306 |
336 |
2 |
3 |
3 |
34 |
62 |
93 |
123 |
154 |
184 |
215 |
246 |
276 |
307 |
337 |
3 |
4 |
4 |
35 |
63 |
94 |
124 |
155 |
185 |
216 |
247 |
277 |
308 |
338 |
4 |
5 |
5 |
36 |
64 |
95 |
125 |
156 |
186 |
217 |
248 |
278 |
309 |
339 |
5 |
6 |
6 |
37 |
65 |
96 |
126 |
157 |
187 |
218 |
249 |
279 |
310 |
340 |
6 |
7 |
7 |
38 |
66 |
97 |
127 |
158 |
188 |
219 |
250 |
280 |
311 |
341 |
7 |
8 |
8 |
39 |
67 |
98 |
128 |
159 |
189 |
220 |
251 |
281 |
312 |
342 |
8 |
9 |
9 |
40 |
68 |
99 |
129 |
160 |
190 |
221 |
252 |
282 |
313 |
343 |
9 |
10 |
10 |
41 |
69 |
100 |
130 |
161 |
191 |
222 |
253 |
283 |
314 |
344 |
10 |
11 |
11 |
42 |
70 |
101 |
131 |
162 |
192 |
223 |
254 |
284 |
315 |
345 |
11 |
12 |
12 |
43 |
71 |
102 |
132 |
163 |
193 |
224 |
255 |
285 |
316 |
346 |
12 |
13 |
13 |
44 |
72 |
103 |
133 |
164 |
194 |
225 |
256 |
286 |
317 |
347 |
13 |
14 |
14 |
45 |
73 |
104 |
134 |
165 |
195 |
226 |
257 |
287 |
318 |
348 |
14 |
15 |
15 |
46 |
74 |
105 |
135 |
166 |
196 |
227 |
258 |
288 |
319 |
349 |
15 |
16 |
16 |
47 |
75 |
106 |
136 |
167 |
197 |
228 |
259 |
289 |
320 |
350 |
16 |
17 |
17 |
48 |
76 |
107 |
137 |
168 |
198 |
229 |
260 |
290 |
321 |
351 |
17 |
18 |
18 |
49 |
77 |
108 |
138 |
169 |
199 |
230 |
261 |
291 |
322 |
352 |
18 |
19 |
19 |
50 |
78 |
109 |
139 |
170 |
200 |
231 |
262 |
292 |
323 |
353 |
19 |
20 |
20 |
51 |
79 |
110 |
140 |
171 |
201 |
232 |
263 |
293 |
324 |
354 |
20 |
21 |
21 |
52 |
80 |
111 |
141 |
172 |
202 |
233 |
264 |
294 |
325 |
355 |
21 |
22 |
22 |
53 |
81 |
112 |
142 |
173 |
203 |
234 |
265 |
295 |
326 |
356 |
22 |
23 |
23 |
54 |
82 |
113 |
143 |
174 |
204 |
235 |
266 |
296 |
327 |
357 |
23 |
24 |
24 |
55 |
83 |
114 |
144 |
175 |
205 |
236 |
267 |
297 |
328 |
358 |
24 |
25 |
25 |
56 |
84 |
115 |
145 |
176 |
206 |
237 |
268 |
298 |
329 |
359 |
25 |
26 |
26 |
57 |
85 |
116 |
146 |
177 |
207 |
238 |
269 |
299 |
330 |
360 |
26 |
27 |
27 |
58 |
86 |
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- L’escompte simple.
L’escompte est une forme très particulière de prêt. Il s’agit en réalité de la négociation de promesses de paiement ou traites (ou encore lettres de change) avant leur échéance. L’organisme financier qui acquiert les promesses de paiement les règles comptant mais retient un certain intérêt que l’on appelle l’escompte.
La théorie de l’intérêt simple permet aisément de calculer cet intérêt. La seule différence est que le capital à prendre en considération n’est pas le capital présent, ou la valeur actuelle de la traite, mais bien son nominal, sa valeur future.
Par définition, l’escompte sera donné par la formule : E = Cn . n . e
Cn représente la valeur nominale de la traite à négocier, donc sa valeur future ; n représente sa durée. Généralement l’unité choisie est l’année ; dans ce cas, si n est un nombre de jours, il sera exprimé en 1/360.
Le symbole e représente le coefficient de proportionnalité utilisé et porte le nom de taux d’escompte ; ce taux est généralement annuel. Ce dernier est toujours différent du taux d’intérêt, comme on va pouvoir le vérifier à l’aide d’un exemple.
Exemple 1.
Considérons une traite de 100.000 € échéant dans deux mois ; le taux d’escompte est de 9 % (il s’agit d’un taux annuel).
Valeur de l’escompte : E = 100.000 € . (2/12) . 0,09 = 1.500 € (chaque mois compte pour 1/12).
La valeur payée par la banque pour la traite est donc : 100.000 € - 1.500 € = 98.500 €.
Calculons à présent le taux d’intérêt réellement exigé par la banque : on sait que le capital de 98.500 € placé pendant 2 mois va rapporter 1.500 € ; on a :
I = 98.500 € . (2/12) . i = 1.500 €
On en tire : i = (1.500 € . 12) / (98.500 € . 2) = 0,0913
Le taux d’intérêt est donc de 9,13 %. Celui-ci dépend non seulement du taux d’escompte mais aussi de la durée.
Exemple 2.
Considérons à présent la même traite en ne modifiant que la date d’échéance. Soit donc une traite de 100.000 € échéant dans 8 mois ; le taux d’escompte est toujours de 9 %.
E = 100.000 € . (8/12) . 0,09 = 6.000 €
C0 = 100.000 € - 6.000 € = 94.000 €
Du point de vue de la banque, un placement de 94.000 € va rapporter 6.000 € d’intérêts en 8 mois ; on a donc :
94.000 € . (8/12) . i = 6.000 € et i = 0,0957
Le taux d’intérêt est à présent de 9,57 %.
On remarque donc que le taux d’intérêt croît lorsque la période à considérer devient plus grande. Ce phénomène est dû au fait que l’on considère pour le calcul de l’escompte une valeur future plus éloignée dans le temps et donc plus éloignée de la valeur actuelle qui sert de base au calcul du taux d’intérêt.
Relation entre le taux d’escompte et le taux d’intérêt.
Les relations générales de l’escompte simple sont :
E = Cn . n . e
C0 = Cn – E = Cn – Cn . n . e = Cn . (1 – n . e)
La relation de l’intérêt simple à utiliser est: I = C0 . n . i
Il reste à constater que l’escompte payé par le client est l’intérêt perçu par la banque : I = E
La dernière relation devient alors : E = C0 . n . i
En remplaçant E et C0 par leurs valeurs, on obtient :
Cn . n . e = Cn . (1 – n . e)
Après simplification par Cn et par n, on a :
i = e / (1 – n . e)
Lorsque n tend vers 0 , i tend vers e ; lorsque n tend vers 1/e, i tend vers l’infini puisque le dénominateur tend vers 0 (ce qui suppose une grande valeur de n).
Lorsque n est supérieur à 1/n, le taux d’intérêt devient négatif, l’escompte est supérieur au nominal de la traite et, avec ce cas de figure, on entre totalement dans le domaine de l’absurde.
Utilisation du temps réel et du temps fictif.
On a supposé précédemment que le calcul de la durée peut se faire dans les 2 cas, escompte et intérêt, avec la même valeur. On va voir à présent que ce n’est pas toujours le cas si du moins on entend rester le plus près possible de la réalité.
Lorsque la durée se calcule en jours, on travaille toujours en temps réel dans une année fictive ; ce procédé permet un accroissement des revenus de l’organisme financier sans augmentation de taux. Prenons un exemple.
Une banque escompte le 22 septembre au taux annuel de 12 %, une traite de nominal 350.000 € échéant fin décembre.
Calcul du temps réel : 31 décembre = n° 365 et 22 septembre = n° 265 ; 365 – 265 = 100 jours
E = 350.000 € . 0,12 . (100/360) = 11.667 € (100 pour le temps réel et 360 pour l’année fictive !)
La traite est donc payée : 350.000 € - 11.667 € = 338.333 €
Calcul du taux d’intérêt : on a placé 338.333 € pendant 100 jours et l’intérêt est de 11.667 €.
338.333 € . (100/365) . i = 11.667 ? i = 0,126 soit un taux de 12,6 %.
Pour le calcul du taux d’intérêt et afin de respecter au maximum la réalité, il est préférable de travailler dans une année réelle (d’où 100/365 : chaque jour est représenté par 1/365).
- Notion d’actualisation.
Soit C0 un capital en t = 0 ; soit i le taux d’intérêt du marché. Quelle était la valeur de ce capital il y a n périodes ?
L’actualisation rationnelle.
On peut considérer que le capital C-n a été placé pendant n périodes au taux i ; il a alors acquis la valeur C0. On peut appliquer les relations d’intérêt simple et on a :
C-n . (1 + n . i) = C0 C-n = C0 / (1 + n . i)
Remarque : dans ce qui précède, n est toujours supposé positif et (-n) représente donc le passé.
L’actualisation commerciale.
C-n = C0 - I C0 Cn = C0 + I
On peut considérer que le capital C0 va produire pendant n périodes au taux i, un intérêt I = C0 . n . i.
On généralise la pratique de l’escompte et l’on considère que la valeur en t = -n est donnée par :
C-n = C0 – I
C-n = C0 – C0 . n . i
C-n = C0 . (1 – n . i) ? C0 = C-n / (1 – n . i)
Cette dernière relation est, aux notations près, la relation qui donne la valeur actuelle d’une traite escomptée.
Résumé et synthèse.
Pour des valeurs futures d’un capital, seule la formule d’intérêt simple est d’application. En résumé on a le tableau suivant :
n 10 mois
i 12 % l’an ? 1 % / mois
C-10 100.000 €
Actualisation rationnelle 100.000 = C0 / (1 + 10 x 0,01) ? C0 = 100.000 x (1,10) = 110.000
Actualisation commerciale 100.000 = C0 . (1 - 10 x 0,01) ? C0 = 100.000 / (0,90) = 111.111
Application.
Un individu a contracté un emprunt de 100 000 € remboursable dans 10 mois; le taux annuel est de 12 %.
n 10 mois
i 12 % l’an ? 1 % / mois
C-10 100.000 €
Actualisation rationnelle 100.000 = C0 / (1 + 10 x 0,01) ? C0 = 100.000 x (1,10) = 110.000
Actualisation commerciale 100.000 = C0 . (1 - 10 x 0,01) ? C0 = 100.000 / (0,90) = 111.111
Seule l’actualisation commerciale, directement dérivée du calcul de l’escompte, est utilisée par les organismes financiers; si par rapport au futur, elle se confond avec la méthode rationnelle, il va de soi que, par rapport au passé (la question se pose alors selon les termes suivants : comment maximiser dans 10 mois un prêt consenti aujourd’hui à un client à un taux d’intérêt donné ?), c’est elle qui garantit la meilleure rentabilité des placements sous forme de prêt…
Utilisation des méthodes d'actualisation pour le calcul de remboursement d'emprunt.
Exemple.
Soit un emprunt de 100 000 contracté en t = 0. Il doit être remboursé en deux versements de même montant effectués respectivement à l'issue du 4e et du 9e mois et calculés sur base d'un intérêt simple de 0,8% par mois.