Cours mathematiques financieres obligations
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Cours mathématiques financières obligations
Chapitre1 : les intérêts simples
1.définition et calcul pratique :
Définition :
Dans le cas de l’intérêt simple, le capital reste invariable pendant toute la durée du prêt. L’emprunteur doit verser, à la fin de chaque période, l’intérêt dû.
Remarque :
- Les intérêts sont versés à la fin de chacune des périodes de prêt.
- Le capital initial reste invariable. Les intérêts payés sont égaux de période en période.
- Le montant des intérêts est proportionnel à la durée du prêt.
Calcul pratique : Si nous désignons par :
C : le capital placé ;
t : le taux d’intérêt annuel pour 100 DH ; n : la période de placement en années ;
i : l’intérêt rapporté par le capital C
On sait que : | I = C * T * N / 100 |
¾ Si la durée est en jours : I = Cij / 360
¾ Si la durée est en mois : I = Cim / 12
¾ Si la durée est en année : I = Cin
2.Méthode des nombres et des diviseurs fixes :
Si le durée est exprimée en jours l’intérêt est I = Ctj / 36000. Séparons les termes fixes et les termes variables et divisons par (t) :
I = (Cj /t) / (36000 / t) ce qui nous donne :
I = Cj/ (36 000/ t) | Cj = N est le nombre | ||
36000/t = D est le diviseur fixe | |||
La formule devient : | I = N / D |
Cette formule est intéressante lorsqu’il s’agit de calculer l’intérêt global produit par plusieurs capitaux aux même taux pendant des durées différentes.
3.la valeur définitive ou la valeur acquise :
La valeur définitive du capital (C) après (n) périodes de placement est la somme du capital et des intérêts gagnés.
Si nous désignons par (VD) la valeur définitive alors :
VD= C + I = C + (Ctn / 100) = C + Cin.
VD = C (1+ (tn /100)) si n est en années.
4.Taux moyen de plusieurs placements :
Soient les sommes d’argents placées à des taux variables et pendant des durées différentes :
Capital | Taux | Durée |
C1 | T1 | J1 |
C2 | T2 | J2 |
C3 | T3 | J3 |
L’intérêt global procuré par ces trois placements est :
IG= (C1T1J1 +C2T2J2 + C3T3J3) / 36000 (1)
Définition :
Le taux moyen de ces trois placements est un taux unique qui applique l’ensemble de ces 3 placements donne le même intérêt global.
Si : IG = (C1TmJ1 + C2TmJ2 + C3TmJ3) / 36000 (2)
(1) est (2) sont identiques alors :
5.intérêt précompté et taux effectif de placement :
Il existe deux manières de paiement des intérêts :
¾ par versement unique lors du remboursement final de prêt (paiement des intérêts du jour du remboursement du prêt par exemple) on dit que l’intérêt est postcompté.
¾ Par avance au moment du versement du capital (les bons de caisse par exemple), c'est-à-dire paiement des intérêts le jour de la conclusion du contrat de prêt.
Ces deux modes de calcul ne sont pas équivalents du point de vue financier.le taux effectif dans le deuxième cas est un peu plus élevé.
Définition :
On calcul le taux effectif du placement à chaque fois que les intérêts sont précomptés et que l’intérêt est calculé sur la base de la valeur nominale. Les intérêts sont versés par l’emprunteur le jour de la conclusion du contrat de prêt , jour ou l’emprunteur recoit le capital prété. Il est alors évident que les fonds engagés procurent au prêteur un taux de placement supérieur au taux d’intérêt stipulé.
Exemple1 :
Une personne place a intérêt précompté 10000 DH pour 1 an, taux = 10%. Quel taux effectif de placement réalise-t-elle ?
Résolution :
L’intérêt procuré par l’opération s’élève a (10000 * 10 *1) / 100 = 1000 DH. Le préteur reçoit immédiatement cet intérêt.
Les choses se passent donc comme s’il n’avait déboursé que 10000 - 1000 = 9000 DH. Le prêteur recevra, dans un an, son capital de 10000 (il a déjà encaissé les intérêts).
Il aura donc gagné en un an 1000 DH en engageant seulement 9000 DH. Le taux effectif Te de placement est (9000 * Te * 1) / 100 = 1000 soit Te = 11.11%.
*Utilisation de l intérêt simple :
L’intérêt simple est utilisé dans :
¾ Les opérations a court terme
¾ Les prêts entre banques ou intermédiaires financiers.
¾ Les comptes courants ; les carnets de dépôt.
¾ Les prêts a la consommation accordée par les institutions financières.
¾ Les escomptes des effets de commerce
- application au comptes courants et d intérêts :
Définition :
Le compte courant est ouvert chez une banque. Les fonds sont versés a vue et sont directement exigibles. Le titulaire d’un compte courant peu, à tous moments effectuer des versements des retraits ou des transferts. Le compte courant est d’intérêt est un compte courant sur lequel les sommes produisent des intérêts créditeurs ou débiteurs selon le sens de l’opération à partir d’une date dite : date de valeur.
La date de valeur est une date qui diffère, la plupart du temps, de la date d’opération, c’est la date ou l’opération est prise en compte. Dans la plupart des cas, les sommes retirées d’un compte le sont à une date de valeur antérieure à celle de l’opération postérieure à celle du dépôt, ceci joue à l’avantage des banques.
Il existe plusieurs méthodes pour tenir de tels comptes. Les calcules sont assez fastidieux. L’utilisation de l’outil informatique a rendu caduque la plupart de ces méthodes. Toutefois, la méthode hambourgeoise est la seule encore utilisée par les banques.
¾ Méthode hambourgeoise :
Elle permet de connaître l’état et le sens du compte a chaque date. Elle est la seule applicable avec des taux différentiels (le taux débiteur en général supérieur au taux créditeur). On parle de taux réciproques s’ils sont égaux.
Principe et organisation de travail :
- A chaque opération est associé une date de valeur
¾ Date d’opération : date effective de réalisation de l’opération.
¾ Date de valeur : date a partir de laquelle on calcule les intérêts.
¾ Date de valeur est égale à la date de l’opération majorée ou minorée.
D’un ou de plusieurs jours (jours de banque) suivant que l’opération est créditrice ou débitrice.
Les opérations sont classées par date de valeur croissant.
- Les intérêts sont calculés sur le solde du compte, à chaque fois que celui-ci change de valeur.
- La durée de placement du solde est le nombre de jours séparant sa date de valeur de la date de valeur suivante.
- A la fin de la période de placement (le trimestre par exemple) on détermine le solde du compte après avoir intégré dans le calcul le solde des intérêts débiteurs et créditeurs et les différentes commissions prélevées pour la tenue de tel comptes.
- Dans le cas de la réouverture du compte, on retient comme première date de valeur, la date d’arrêté du solde précédent.
- On peut utiliser pour le calcul soit directement la méthode hambourgeoise.
Soit la méthode des nombres et des diviseurs fixes appliquée à la méthode hambourgeoise.
Cas particuliers :
Dans certains cas (livret d’épargne et compte sur carnet) les dates de valeurs sont imposées : le premier et le 16 du mois.
Les banques appliquent un taux d’intérêt simple pendant le nombre de quinzaines entières civile de placement ; ainsi pour un dépôt la date de valeur est le premier ou le 16 du mois qui suit la date de l’opération pour un retrait, la date de valeur est la fin ou le 15 du mois qui précède la date d’opération.
Si q est le nombre de quinzaines, l’intérêt produit un montant C placé pendant q quinzaines entières est :
I = ctq / 2400 ou I = ciq / 24
Chapitre 2 : Les intérêts composés
Section I : Définition et formule
I- Définition :
Un K est placé à intérêts composés lorsque l'intérêt s'incorpore au K à la fin de chaque période et porte ainsi intérêt pendant la période suivante.
On dit que l'intérêt est capitalisé en fin de période.
¾ Période de capitalisation :
Le temps est divisé en parties égales qu'on appelle " périodes ". Ces périodes peuvent être par exemple : l'année, le trimestre ou le moi.
Taux : En matière d'intérêts composés, on utilise le tx par 1 Dh c à d l'intérêt rapportépar 1 Dh en 1 période.
II- Formule de la valeur acquise :
…
Section II : calculs numériques : emplois des tables :
I-calcul d'une valeur acquise " A"
1- Cas où le texte et le temps sont dans la table :
Exemple: Quelle est la valeur ajoutée par 1 K de 5.000,00 Dhs placé pendant 5 ans au texte de 6 %?
On sait que A = C (1 + i)n
L'expression (1 + i)n est donnée par la table fière n = 1
A = 5.000 (1,06)5
A = 5.000 x 1,338226 = 6.691,13 Dhs.
2- K ou le temps de placement n'est pas dans la table.
Exemple :
C = 6.000 Dhs tx = 4,5 % n = 3 ans 7 mois
2 Méthode commerciale :
A = C (1 + i)n
A = C (1 + i)k + p/a
A = C (1 + i)k (1+ i)p/a
A = | T.F n° 1 | T.F n° 6 | 6.000 (1,045)3 – (1,045)7/12 |
= 6.000 x 1,141166 x 1,02601
= 7.025,08 Dhs
2 Méthode rationnelle :
A = C (1 + i)k (1+ i x p/a)
T.F n° 2
- = 6.000 (1,045)3 (1 + 0,045)7/ 12
= 6.000 x 1,141166 x 1,02625
= 7.027,08 Dhs
…
A = 6.000 x 1,171121
A = 7.027,08 Dhs
3- K où le tx ne figurent pas dans la table, quelle est la V.A d'un K de 13.400,00 Dhs placé au tx de 4,34 % pendant 5 ans.
On sait que A = C (1 +i)n
A = 13.400 (1,0434)5
4,25 % < 4,34 % < 4,50 %
(1,0425)5 < (1,0434)5 < (1,045)5
(1,045)5 = 1,246182 | (1,0434)5 = ? | ||||||
(1,0425)5 = 1,231347 | (1,0425)5 | = 1,231347 | |||||
0,0025 | 0,014835 | 0,0009 | x | ||||
x | = 0,014835 x 0,0009 |
= 0,00534
(1,0434)5 = 1,231347 + 0,00534 = 1,236667
A = 13.400 x 1,236667
= 16.561,33 Dhs
- calcul du Tx :
Exemple 1 :
Un K de 5.000 Dhs est placé à intérêts composés pendant 5 ans, sa valeur acquise se lève à 6.69113 Dhs, calculer le tx.
On sait que | : | A = C(1 +i)n | ||||
6.691,13 = 5.000 (1 + i)5 | ||||||
(1 + i)5 | = | 6.691,13 / 5.000 | ||||
(1 + i)5 | = | 1,338226 | ||||
D'après la T.F n° 1, le tx est de 6 % | ||||||
Exemple 2 : | ||||||
C = 5.000 Dhs | A = 7.688,13 Dhs | n = 6 ans | ||||
On sait que A = C (1 +i)n | ||||||
7.688,13 = 5.000 (1 + i)6 | ||||||
(1 + i)6 = 1,537626 | ||||||
1,521891 < 1,537626 < 1,543302 | ||||||
(1,0725)6 | < | (1 + i)6 | < (1,075)6 | |||
0,0725 | < | i | < 0,075 |
(1,075)6 | = 1,543302 | (1 + i)c = 1,537626 | |||||||||
(1,0725)6 | = 1,543302 | (1,0725)6 = | 1,521891 | ||||||||
0,0025 | 0,021411 | x | 0,015735 | ||||||||
i = - 0,0725 + x | |||||||||||
x = i - 0,0725 | |||||||||||
x = 0,015735 x 0,0025 | x = 0,0018 | ||||||||||
0,021411 | |||||||||||
I = 0,0725 x 0,0018 = 0,0743 | Tx = 7,43 % |
III- Calcul de la durée (m) :
Exemple 1 :
Un K de 5.000,00 Dhs est placé à intérêt composé au tx de 6 %, sa valeur acquise
s'élève à 6.691,13 | Dhs. | |
Calculer n | A = C (1 + i)n | |
On sait que | ||
(1,06)n | 6.691,13 = 5.000 (1,06)n | |
= 1,338226 |
D'après la T.F n° 1, la durée est de 5 ans.
Exemple 2 :
La valeur d'un K de 4.200,00 Dhs placé à intérêt composé au taux de 5 % s'élève à 6.912,75 Dhs, calculer n ?
Calculer n On sait que
(1,05)11 | = | 1,710339 | (1,05)n | = | 1,645892 |
(1,05)10 | = | 1,231347 | (1,05)n | = | 1,628895 |
12 mois | 0,081444 | x mois 0,016997 | |||
x | = 0,016997 x 12 | = 2,504469 |
0,081444
La durée est de 10 ans, 2 mois 15 jours.
IVFormule de la Valeur actuelle (C) :
On sait que | A = C (1 + i)n |
C = A/( 1 + i)n | |
C = A x1/ ( 1 + i)n |
C = A ( 1 + i) –n
L'expression (1 + i)n est donn2e par la TF n- 2
a- Cas où le temps et le taux figurent dans la TF de 5 % pendant 6 ans, sa VA s'élève à 7.628,14 Dhs, calculer C
C = A (1 + i) – n
C = 7.628,14 x (1,05) -6
C = 7.628,14 x 0,746215
C = 5.692,23 Dhs
b- cas où n = K + p/q
Exemple :
Un capital est placé à intérêt composé au taux de 6,25 % pendant 5ans 7 mois, sa VA
s'élève à 9.820,25 Dhs. Calculer " C " | . | ||
2 1ère méthode : - 5 - 7/12 | |||
- 5 - 1 + 1 – 7/12 | = | - 6 + 5/12 | |
C = 9.820,25 x (1,0625) -6 (1,0625) 5/12 | |||
C = 9.820,25 x 0,0695067 x 1,02558 | |||
C = 7.000,00 Dhs | |||
On sait que : C = A (1 + i )- n | |||
C = 9.820,25 x (1,0625) -5 – 7/12 | |||
(1,0625)-6 < (1,0625) -5 - 7/12 < (1,0625)-5 | |||
0,695067 | < (1,0625) -5 - 7/12 < 0,738508 | ||
(1,0625)-5 = 0,738508 | (1,0625) -5 - 7/12 = ? | ||
Donc x = 0,043441 x 7 | = 0,0253405 | ||
(1,0625) -5 - 7/12 = 0,0253405 | |||
C | = 9.820,25 x 0,7204075 | ||
C | = 7.074,58 Dhs |
c- Cas où le taux " C " ne figure pas dans la T.F
Exemple :
La V.A d'un K "C " placé à intérêt composé au taux de 5,18 % pendant 4 ans s'élève à 8.680,25, calculer " C "
On sait que C = A (1 + i) – n
C = 8.680,25 ( 1,0518) – 4 C = 8.680,25 x 1 ( 1,0518) 4
C = 7.092,5 Dhs
Chapitre 3 : Les annuités
L'étude des annuités est d'une importance capitale, celle-ci permet en effet de résoudre plusieurs problèmes relatifs :
Aux emprunts (remboursement de crédit).
Aux placements (constitution d'un capital, retraite par exemple).
A la rentabilité d'un investissement.
1.Définition :
On appelle annuité des sommes payables à intervalles de temps réguliers.
Dans le cas des annuités proprement dites les sommes sont versées ou perçues chaque année à la même date, la période retenue est alors l'année. On peut cependant effectuer des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels. Dans ces cas on parle de semestrialité, trimestrialités ou de mensualités.
Le versement d'annuités a pour objet, soit de rembourser une dette, soit de constituer un capital.
2.Annuités constantes de fin de période :
Ici, les sommes sont payables à la fin de chaque période, en outre ces sommes sont constantes.
2-1- valeur acquise :
A Valeur acquise au moment du dernier versement : | ||
Soient : | ||
a | : | le montant de l'annuité constante |
i | : | le taux d'intérêt correspondant à la période retenue. |
n | : | le nombre d'annuité |
An | : | Valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité |
…
Remarque :
1- ici le nombre n indique à la fois l'époque à laquelle on évalue la suite d'annuité et le nombre de versements.
2- on applique cette formule quand on se situe au moment du dernier versement.
An = a (1 + i)n – 1 | e |
indique le nombre de versement
Indique l'époque à laquelle
On évolue la suite
Il ne faut jamais oublier que le nombre de versements est un nombre entier. Les exemples ci-après ont pour objet de manipuler la formule.
An = a (1 + i)n – 1 i
Exemple 1 :
Calculer la valeur acquise au moment du dernier versements, par une suite de 15 annuités de 35.000,00 dhs chacune.
Taux de l'an est de 10 %
A15 = 35.000,00 (1,1)15 – 1 = 1.112.036,86 Dhs.
0,1
Remarque :
1- La table n° 3 donne :
1,115 – 1 = 31,7724817 Dhs.
0,1
Ligne n° 15 et colonne 10 %
2- les intérêts produits par les différents versements peuvent être calculés. I = 1.112.036,86 – 15 x 35.000 = 587.036,86 Dhs
Exemple 2 :
Combien faut-il verser à l afin de chaque semestre pendant 8 ans, pour constituer au moment du dernier versement, un capital de 450.000,00 Dhs, taux semestriel 4,5 %.
Ici on inverse la formule :
An = a | (1 + i)n – 1 | a = An | i | ||||
i | (1 + i)n – | 1 | |||||
a = 450.000,00 | 0,05 | = 19.806,92 Dhs | |||||
1,04516 – 1 | |||||||
Remarque :
En inversant la formule, on obtient le montant de l'annuité.
2-2- valeur actuelle :
A- valeur actuelle à l'origine :
La situation peut être schématisée comme suit :
…
Exemple 1 :
Calculer la valeur actuelle à l'origine d'une suite de 12 annuités de 32.500,00 Dhs chacun. Taux d'escompte 8,5 % l'an.
A0 = 32.500,00 (1 + 0,085) -12 = 238.702,30 Dhs
0,085
1- La table n° 4 donne les valeurs de | 1 – (1 + i) – n |
Ici on lit 1 – (1,085) – 12 = 7,3446861 0,085
2- Les intérêts versés à l'occasion de cette opération d'escompte peuvent être calculés : I = 12 x 32.500,00 – 238.702,30
= 151.297,70 Dhs
Exemple 2 :
- Combien faut-il payer pour rembourser une dette de 35.000,00 Dhs par le versement de 14 annuités constantes.
Taux d'escompte : 10,5 % l'an.
- Ici on inverse la formule d'actualisation
An = a | 1- (1 + i)n | a = A0 | i | |||||
i | 1 - (1 + i) | n | ||||||
a = 35.000,00 | 0,105 | - 14 | = 48.813,31 Dhs | |||||
1- 1,105 | ||||||||
Exercices
Exercices :
Exercice n° 5-1 :
Le 30/10/1995 un particulier s'engage auprès d'un organisme de capitalisation à verser 12 annuités de 32.500,00 Dhs chacune sachant que le taux est de 9 % l'an et que le premier versement doit être effectué le 31/10/1996.
Calculez le capital constitué : a- Au 31/10/2007. b- Au 31/03/2008. c- Au 31/10/2009. d- Au 31/10/2010.
Corrigé :
La situation se présente comme suit :
31/10/95 | 31/10/96 | 31/10/97 | 31/10/07 | 31/10/08 | 31/10/09 | 31/10/10 |
1 | 2 | 12 |
5 mois
2 ans
3 ans
a- Ici on se situe au moment du dernier versement. A12 = 32.500,00 1,0912 - 1 = 654.573,39 Dhs 0,09
b- On distingue ici deux solutions : rationnelle, commerciale
Solution rationnelle :
AR12 + 5 = A12 (1 + 5 x 0,09) = 679.119,90 Dhs
12 | 12 | |
A12 + A12 x 0,09 x | 5 mois | |
12 | mois |
Solution commerciale :
Ac12 + 5 = A12 (1 x 0,09)5/12 = 678.504,48 Dhs 12
c- Au 31/10/2009 on a :
A14 = A12 x 1,092 = 777.628,65 Dhs
d- Au 31/10/2010 on a :
A15 = A12 x 1,093 = 847.621,53 Dhs
Chapitre 4 : Les emprunts indivis
1 Définition :
L’emprunt indivis se caractérise par le fait que l’emprunteur (un particulier ou une entreprise) s’adresse à un seul créancier (le nominal C de la dette n’est pas divisé). L’emprunt indivis s’oppose donc à l’emprunt obligataire pour lequel l’emprunteur (une grande entreprise ou l’état) recourt à une multitude de créanciers (le nominal C de la dette est divisé en titres).
2 Notion d amortissement des emprunts indivis :
Une personne emprunte une somme C pour une durée égale à une période n, au taux de i. Pour l’amortissement de la dette on distingue deux types de systèmes :
¾ Emprunts remboursables en une seule fois.
¾ Amortissement à l’aide d’annuités.
2-1 Emprunts remboursables en une seule fois:
Exemple : un emprunt de 250 000DH est remboursable à la fin de la 10ème année, l’emprunteur s’engage à verser à la fin de chaque année l’intérêt de la dette.
2-2 Amortissement à l’aide d’annuités :
Exemple : Un emprunt de 20 000 remboursable à l’aide de 6 annuités. La première venant à échéance un an après la date du contrat, taux 11%. Sachant que les amortissements sont respectivement 35 000, 20 000, 50 000, 40 000 et 10 000, établir le tableau d’amortissement.
Période | CDP* | I | M | a | CFP* |
1 | 200 000 | 22 000 | 35 000 | 57 000 | 165 000 |
2 | 165 000 | 18 150 | 20 000 | 38 150 | 145 000 |
3 | 145 000 | 15 950 | 50 000 | 65 950 | 95 000 |
4 | 95 000 | 10 450 | 40 000 | 50 450 | 55 000 |
5 | 55 000 | 6 050 | 10 000 | 16 050 | 45 000 |
6 | 45 000 | 4 950 | 45 000 | 49 950 |
L’intérêt de la première année, par exemple se calcule comme suit :
I = 200 000 x 0,11 = 22 000 DH
*CDP = capital début de période CFP = capital fin de période
M = amortissement a = annuité
En additionnant l’intérêt et le premier amortissement, on obtient l’annuité a1 : a1 = 22 000 + 35 000 = 57 000
En retranchant l’amortissement du capital au début d’une période, on obtient la capital restant du début de la période suivante, par exemple :
C1 = 200 000 – 35 000 = 165 000
Et ainsi de suite…
Remarque :
Le dernier amortissement n’a pas été donné, son calcul ne pose aucun problème : M6 = 200 000 – (35 000 + 20 000 + 50 000 + 40 000 + 10 000)
= 45 000
Dans cet exemple les amortissements n’obéissent à aucune loi et sont distribués de manière tout à fait aléatoire.
3 Amortissement par annuité constante :
3–1 Construction du tableau d’amortissement :
Pour construire le tableau d’amortissement on peut procéder de 2 manières différentes :
¾ On calcule d’abord l’annuité constante, pour la première ligne on commence par calculer l’intérêt, par soustraction (a-I1) on obtient le premier amortissement, que l’on déduit du capital initial (C1 = C – M1) on dispose maintenant de la dette au début de la
deuxième période, ce qui permet de construire la deuxième ligne et ainsi de suite..
On vérifie ensuite que les amortissements sont en progression géométrique et que leur somme donne le capital.
¾ On calcule la 1er amortissement, en multipliant à chaque fois par (1+i) on obtient la colonne des amortissements et avec cela la colonne du capital en début de période (CDP). Il devient aisé de calculer l’intérêt et l’annuité.
Exemple : une personne emprunte 350 000 DHs auprès d’une banque et s’engage à verser 8annuités constantes, la 1ère payable 1 an après la date du contrat. Sachant que le taux est de 12% l’an, construire le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré.
Calculer l’annuité de remboursement.
a = 350 000 x (0,12/1-1,128) = 70 455,99 DH
D’où le tableau d’amortissement :
Période | CDP | I | Amortissement | Annuités | CFP |
1 | 350 000 | 42 000 | 28 455,99 | 70 455,99 | 321 544,01 |
2 | 321 544,01 | 38 585,28 | 31 870,71 | 70 455,99 | 289 673,29 |
3 | 289 673,29 | 34 760,80 | 35 695,20 | 70 455,99 | 253 978,09 |
4 | 253 978,09 | 30 477,37 | 39 978,62 | 70 455,99 | 231 999,47 |
5 | 213 999,47 | 25 679,94 | 44 776,06 | 70 455,99 | 169 233,41 |
6 | 169 223,41 | 20 306,81 | 50 149,19 | 70 455,99 | 119 074,23 |
7 | 119 074,23 | 14 288,91 | 56 167,09 | 70 455,99 | 62 907,14 |
8 | 62 907,14 | 7 548,86 | 62 907,14 | 70 455,99 |
3-2 Capital restant dû :
Exemple : reprenons l’exemple précédent et calculons la dette restante juste après le versement du 5ème thème
DV5 = 350 000 x 1,125 – 70 455,99 (1,125-1 / 0,12) = 169 223,41 DH
3-3 La prise en compte de la taxe sur la valeur ajoutée :
La TVA concerne les intérêts débiteurs, ainsi si celles-ci est de 17%, alors pour 100DH d’intérêt versés au banquier, par exemple, il importe d’ajouter 7 Dh de taxe, on se retrouve alors avec 107 DH d’intérêts toutes taxes comprises TTC.
Pour tenir compte de la TVA on intègre une colonne spéciale à cet effet, seulement l’annuité de remboursement s’en trouve modifiée, celle-ci ne sera plus constante mais en légère diminution (on ajoute à un terme constant une taxe qui diminue avec l’intérêt). Pour rendre constante l’annuité effective (I + TVA + Amortissements) il importe d’utiliser le taux d’intérêt i intégrant la TVA (taux TTC).
Exemple : un emprunt de 500 000DH est amortissable par le versement de 6 annuités constantes, la première venant à l’échéance d’un an après la date du contrat, taux 12%, TVA 7% sur les intérêts.
On calcule d’abord le taux TTC : pour une capital de 100 DH on verse 12 DH d’intérêt par an, et pour 12 DH on verse 0,84 DH de TVA (12 x 0,07 = 0,84), on verse en définitive pour un capital emprunté de 100 DH, UN intérêt de 12,84 par an TTC.
Le taux est alors de 12,84% l’an (i= 0,1284)
A partir de ce taux on calcule l’annuité : a= 500 000 (0,1284/1-1,1284) = 124 519,82 D’où le tableau d’amortissement :
Période | CDP | I | TVA | Amor. | Annuité | CFP |
1 | 500 000 | 60 000 | 4 200 | 60 319,82 | 124 519,82 | 439 680,18 |
2 | 439 680,18 | 52 761,62 | 3 693,31 | 68 064,88 | 124 519,82 | 371 615,31 |
3 | 371 615,31 | 44 593,84 | 3 121,57 | 76 804,41 | 124 519,82 | 294 210,89 |