Cours de statistique 3eme : mediane, quartiles et deciles
1.1 Vocabulaire
Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes :
1. population ensemble
2. individu élément
3. effectif effectif total
4. variable
5. nature d’une variable
6. modalité
7. variable qualitative
8. variable quantitative
9. variable quantitative discrète
10. variable quantitative continue
11. diagramme circulaire
12. diagramme en bâtons
13. histogramme
14. diagramme en boîte
15. courbe des fréquences cumulées
16. fréquence
17. fréquences cumulées
18. mode
19. classe modale
20. étendue
21. moyenne
22. médiane
23. quartiles
24. premier quartile
25. second quartile
26. troisième quartile
27. quatrième quartile
28. inter quartile
29. intervalle inter quartile
1.2 Notations
Il faut connaître la signification des notations mathématiques suivantes :
1.3 Formules
Il faut connaître par coeur les formules suivantes :
1. ✞e = max − min ☎
✎✝☞ ✆
2. N = Xni ☛✍ n ✟ ☛✌ ni ✟
3. f = fi =
N N
☛✡ ni✠× 360✡ ✟ ✠
4. αi =
☛✡ n N✟ ✠
5. h =
✡ b − a ✠ ✓ i=p ✏ i=p ✎ ☞
✎ n1x1 + n2x2 + + npxp ☞ 1
6. x = x = Xi=1 nixi où N = Xi=1 ni = i
✍ ✌ ✒ ✑ ✍ P ✌ n1 + n2 + + np N
2 généralités et vocabulaire
2.1 à retenir
définition 1 : (étude statistique)
Faire une étude statistique c’est :
1. définir un ensemble d’éléments que l’on va étudier (humains, objets )
2. recueillir des informations sur l’ensemble d’éléments précédent (âge, poids, )
3. organiser et traiter les informations précédentes(tableaux, calculs, )
4. représenter les résultats (diagrammes, courbes, ) 5. commenter les résultats précédents (remarques, )
définition 2 : (population) la population d’une étude statistique est l’ensemble d’éléments duquel on extrait des informations
(ensemble des élèves d’une classe, ensemble des voitures, )
définition 3 : (individu)
Un individu est un des éléments appartenant à la population. (un des élèves de la classe, une des voitures )
définition 4 : (effectif)
L’ effectif noté « N » d’ une population est le nombre d’éléments que contient la population (c’est un nombre entier naturel, N ∈N ) (si une classe est de 30 élèves, N = 30)
définition 5 : (variable et valeurs de la variable)
Une variable X (ou "caractère" ) est le type d’informations que l’on extrait de chaque individu (poids, nationalité, )
Les valeurs x1; x2; x3; . .. ; xi; .. .xN prises
par la variable X peuvent être des nombres ou autre chose que des nombres et sont aussi appelées modalités de la variable.
(nombre de frères et sœurs, couleur des yeux, )
définition 6 : (nature de la variable)
La variable est de nature :
QUALITATIVE
si les valeurs possibles de la variable (modalités) ne sont pas des nombres. (Nationalité, couleur des yeux, )
QUANTITATIVE
si les valeurs possibles de la variable sont des nombres. (taille, poids, )
QUANTITATIVE DISCRETE
si les valeurs possibles de la variable sont des nombres isolés.
(nombre de frères, nombre d’enfants, de diplômes, )
QUANTITATIVE CONTINUE
si les valeurs possibles de la variables forment un intervalle (poids, taille, )
On procède généralement à une séparation de l’ensemble des valeurs possibles en intervalles disjoints. ([0;10[ ;[10;20[ ;. . .)
exemple
On demande à chaque élève d’une classe de 30 élèves son poids en kg.
— Population : ensemble des élèves de la classe
— Individu : élève
— Effectif total : N = 30
— Variable : poids
— Nature de la variable : quantitative continue (on peut procéder à un regroupement par intervalles)
3 généralités et vocabulaire (à compléter)
3.1 à retenir
définition 7 : (étude statistique)
Faire une étude statistique c’est :
1. un ensemble d’éléments que l’on va (humains, objets )
2. des informations sur l’ensemble d’éléments précédent (âge, poids, )
3. organiser et traiter les précédentes (tableaux, calculs, )
les résultats obtenues précédemment (diagrammes, courbes, ) les résultats (remarques, )
définition 8 : (population)
la d’une étude statistique est l’ des duquel
on extrait des (ensemble des élèves d’une classe, ensemble des voitures, )
définition 9 : (individu)
Un est un des appartenant à la .
(un des élèves de la classe, une des voitures )
définition 10 : (effectif)
L’ noté « N » d’ une est le nombre
que contient la population (c’est un nombre entier naturel, N ∈N ) (si une classe est de 30 élèves, N = 30)
définition 11 : (variable et valeurs de la variable)
Une X (ou "caractère" ) est le type d’
que l’on extrait de chaque (poids, nationalité, )
Les valeurs x1; x2; x3; . .. ; xi; .. .xN prises
par la variable X peuvent être des nombres ou autre chose que des nombres et sont aussi appelées modalités de la variable. (nombre de frères et sœurs, couleur des yeux, )
définition 12 : (nature de la variable)
La variable est de nature :
QUALITATIVE
si les valeurs possibles de la (modalités) ne sont pas des (Nationalité, couleur des yeux, )
QUANTITATIVE
si les valeurs possibles de la variable sont des (taille, poids, )
QUANTITATIVE DISCRETE
si les valeurs possibles de la variable sont des nombres
(nombre de frères, nombre d’enfants, de diplômes, )
QUANTITATIVE CONTINUE
si les valeurs possibles de la variables forment un (poids, taille, ) On procède généralement à une séparation de l’ensemble des valeurs possibles en disjoints. ([0;10[ ;[10;20[ ;. .. )
exemple
(a) On demande à chaque élève d’une classe de 30 élèves son poids en kg.
i. Population : ensemble
ii. Individu : iii. Effectif total : iv. Variable :
v. Nature de la variable :
(b) On recueillle pour les 100 familles d’une rue le nombre d’enfants
i. Population : ensemble
ii. Individu : iii. Effectif total : iv. Variable :
v. Nature de la variable :
(c) On observe pour les planètes du système solaire si elle est solide ou gazeuse
i. Population : ensemble
ii. Individu :
iii. Effectif total :
iv. Variable :
v. Nature de la variable :
4 représentations graphiques
4.1 activités
4.1.1 activité 1 : diagramme circulaire on interroge des élèves sur le bac qu’ils souhaitent passer
|
|
1. compléter le tableau de gauche ci dessus
2. préciser la population, les variables étudiées et la nature des variables
3. quel est le "mode" de la variable étudiée pour les filles? (valeur la plus fréquente)
4. quel est le "mode" de la variable étudiée pour les garçons?
5. retrouver un calcul qui permet d’obtenir le 126 de la cellule I2
6. compléter le tableau des angles des diagrammes circulaires (le cercle pour 100 %)
7. quelles formules entrer en I2 pour que les résultats s’affichent automatiquement si ontire vers la droite (dans un tableur)?
8. compléter les diagrammes circulaires ci dessous (découpés en tranches de 10 degrés) (un pour les garçons et un pour les filles)
commentaires :
4.1.2 activité 2 : diagramme en bâtons voici les répartitions des nombres d’enfants par familles dans deux classes A et B
nombre d’enfants |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Σ |
classe A (%) |
10 |
20 |
25 |
15 |
10 |
10 |
5 |
5 |
100 |
classe B (%) |
1. commenter la valeur 7 du tableau ci dessus
2. commenter le deuxième bâton du diagramme ci dessous
3. compléter le diagramme en bâtons ci dessous ainsi que le tableau ci dessus
% %
2525
2020
1515
1010
55
0nb enfants 0nb enfants
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4. quelle classe admet le plus grand nombre d’enfants par famille?
5. quel est le "mode" de la variable étudiée pour chacune des classes?
6. quelle est l’étendue de la variable étudiée pour chacune des classes?
4.1.3 activité 3 : Histogramme
le tableau ci dessous donne le nombre d’heures de fonctionnement du poste de télévision principal par jour et par famille pour les élèves de deux classes
nombre d’heures |
[0;1[ |
[1;3[ |
[3;6[ |
[6;10] |
Σ |
effectif |
8 |
12 |
15 |
8 |
43 |
i. commenter la valeur 12 du tableau ci dessus
nombre d’heures |
[0;1[ |
[1;3[ |
[3;6[ |
[6;10] |
Σ |
effectif |
8 |
12 |
15 |
8 |
43 |
largeur |
2 |
||||
hauteur |
6 |
ii. compléter le tableau de calculs des largeurs et hauteurs des rectangles ci dessous (c’est l’aire du rectangle qui est proportionnelle à l’effectif)
calculs du 2 et du 6
iii. compléter l’histogramme ci dessous et donner le mode ainsi que l’étendue
4.2 corrigés activités
4.2.1 corrigé activité 1 : diagramme circulaire concernant les terminales générales de l’année 2009 en France (à 1% près)
A |
B |
C |
D |
E |
F |
H |
I |
J |
K |
L |
|
1 |
série générales |
ES |
S |
L |
Σ |
série générales |
ES |
S |
L |
Σ |
|
2 |
Filles (%) |
35 |
41 |
24 |
100 |
Filles (degrés) |
126 |
147,6 |
86,4 |
360 |
|
3 |
Garçons(%) |
28 |
64 |
8 |
100 |
Garçons (degrés) |
100,8 |
230,4 |
28,8 |
360 |
i. calcul qui permet d’obtenir le 126 de la cellule I2
donc
ii. tableau des angles des diagrammes circulaires (le cercle pour 100 %)
iii. formules entrer en I2 et I3 pour que les résultats s’affichent automatiquement si ontire vers la droite (dans un tableur)?
✞I2=(C2/100)*360 ou I2=(C2/$F2)*360 ou I2=(C2/$F$2)*360 ☎
✝✞I3=(C3/100)*360 ou I3=(C3/$F3)*360 ou I3=(C3/$F$3)*360 ✆☎
✝ ✆
iv. diagrammes circulaires ci dessous (découpés en tranches de 10 degrés)
commentaires : les filières sont relativement équiréparties chez les filles alors que chez les garçons, la filières S est prépondérante et L est minoritaire
4.2.2 corrigé activité 2 : diagramme en bâtons
nombre d’enfants |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Σ |
classe A (%) |
10 |
20 |
25 |
15 |
10 |
10 |
5 |
5 |
100 |
classe B (%) |
voici les répartitions des nombres d’enfants par familles dans deux classes A et B i. l✞5a valeur 7 du tableau ci dessus signifie que% des familles de la classe A ont 7 enfants☎
✝✆
ii. l✞30e deuxième bâton du diagramme ci dessous% des familles de la classe B ont 2 enfantssignifie que☎
✝✆
iii. compléter le diagramme en bâtons ci dessous ainsi que le tableau ci dessus
% %
2525
2020
1515
1010
55
0nb enfants 0nb enfants 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
✄
iv. quelle classe admet le plus grand nombre d’enfants par famille? ✂A avec 8 enfants ✁
4.2.3 corrigé activité 3 : Histogramme
le tableau ci dessous donne le nombre d’heures de fonctionnement du poste de télévision principal par jour et par famille pour les élèves de deux classes
nombre d’heures |
[0;1[ |
[1;3[ |
[3;6[ |
[6;10] |
Σ |
effectif |
8 |
12 |
15 |
8 |
43 |
i. la valeur 12 du tableau ci dessus signifie que✞12 des familles de la classe ont le poste allumé entre 1h inclue et 3h exclu ☎
✝ ✆
ii. compléter le tableau de calculs des largeurs et hauteurs des rectangles ci dessous
(c’est l’aire du rectangle qui est proportionnelle à l’effectif)
nombre d’heures |
[0;1[ |
[1;3[ |
[3;6[ |
[6;10] |
Σ |
effectif |
8 |
12 |
15 |
8 |
43 |
largeur |
1 − 0 = 1 |
2 |
6 − 3 = 3 |
10 − 6 = 4 |
|
hauteur |
8 = 8 1 |
6 |
15 = 5 3 |
8 = 2 4 |
calculs du 2 et du 6
☎
✟✆
= 6
✡2 ✠
iii. histogramme ci dessous
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
à retenir
définition 13 : (diagramme circulaire) dans un diagramme circulaire, l’angle au centre α est
proportionnel à l’effectif n (la fréquence f) de la valeur correspondante,
avec un angle de 360 degrés pour l’effectif total N (pour la fréquence totale F = 100%)
☛ 360 × n ✟✎ 360 × effectif ☞ donc α = N angle au centre = effectif total α
✡ ✠✍ ✌
de même pour f à la place de n
Exemple :
Dans un groupe, il y a 5 filles et 35 garçons ( 40 personnes ) Soit αf l’angle correspondant aux filles, on a :
✟
donc α donc αg = 360 − 45 = 315
✠
définition 14 : (diagramme en bâtons) dans un diagramme en bâtons, la hauteur du bâton h en unités effectif de longueurs est égale à l’effectif n (la fréquence f) de la valeur
✞ ☎
correspondante,de longueur ( cm pour 1 unité de longueurh n ✆, il suffit de choisir la longueur en)cm d’une unité h
valeur
définition 15 : (histogramme) dans un histogramme, l’aire a du rectangle en unités d’aires est égale à l’effectif n (la fréquence f) de l’intervalle,
✞largeur = l = b − a ☎
pour l’intervalle [a;b[ d’effectif n on a ✝☛n ✆✟ hauteur = h =
✡ b−a ✠ valeur
il suffit de choisir la valeur en cm d’une unité de hauteur. a b de même pour f à la place de n
Exemple :
nombre d’heures |
[0;1[ |
[1;3[ |
[3;6[ |
[6;10] |
Σ |
effectif |
8 |
12 |
15 |
8 |
43 |
largeur |
1 − 0 = 1 |
2 |
6 − 3 = 3 |
10 − 6 = 4 |
|
hauteur |
8 = 8 1 |
6 |
15 = 5 3 |
8 = 2 4 |
calculs du 2 et du 6
☎ ✟✆
= 6 2
✡ ✠
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
exercices exercice 1 :
(a) écrire un algorithme qui donne la valeur de l’angle au centre d’un diagramme circulairesi on entre l’effectif total et l’effectif de la valeur
(b) écrire un algorithme qui donne la hauteur du rectangle d’un histogramme si on entrel’effectif total, l’effectif de l’intervalle ainsi que ses bornes
exercice 2 : (angle diagramme circulaire) suite aux épreuve du premier groupe d’un examen on obtient :
Admis : 212; Convoqués au rattrapage : 84; Refusés : 42
1. écrire un algorithme qui calcule et affiche les trois angles angle_A, angle_C et angle_R du diagramme circulaire qui représente les données précédentes
2. modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre de catégories distinctes (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les effectifs de chacune des catégories
(pour le stockage des effectifs on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des effectifs dans le tableau, pour le calcul de l’effectif total et pour l’affichage des résultats on utilisera une "boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
exercice 3 : (hauteur histogramme) suite aux épreuve du premier groupe d’un examen on obtient :
[0;8[: 42 (Refusés); [8;10[: 84 (rattrapage);[10;20] : 212 (Admis)
1. écrire un algorithme qui calcule et affiche les trois hauteurs hauteur_A, hauteur_Cet hauteur_R de l’histogramme qui représente les données précédentes
2. modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre d’intervalles (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les effectifs de chacun des intervalles
_ les bornes des intervalles (pour le stockage des effectifs et des bornes on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des effectifs dans le tableau, pour le calcul de l’effectif total et pour l’affichage des résultats on utilisera une "boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
corrigés exercices corrigé exercice 1 :
corrigé exercice 2 :
corrigé exercice 3 :
5 fréquence
5.1 à retenir
définition 16 : (fréquence) quelles que soient les p valeurs distinctes x1,x2,x3, ,xp (valeurs) quels que soient les p nombres entiers naturels n1,n2,n3, ,np (effectifs respectifs des xi) quelle que soit la valeur xi de la série,
la fréquence de la valeur✎ xi est le nombre notée fi ☞
effectif de la valeur xi ni ni
avec fi = = = (où N = n1 + n2 + np) effectif total de la serie´ n1 + + np N
✍ ✌
exemple pour la série de valeurs : G,G,G,G,F,F,F,F,F
la fréquence de la valeur F est : soit 55,55%
On peut écrire la fréquence sous forme fractionnaire, décimale (exacte ou approchée) ou sous forme de pourcentage (exacte ou approchée)
6 mode
6.1 à retenir définition 17 : (mode) quelles que soient les p valeurs distinctes x1,x2,x3, ,xp (valeurs) quels que soient les✞ p nombres entiers naturels n1,n2,n3, ,n☎p (effectifs respectifs des xi) xi est un "mode" de la série ⇐⇒ xi a le plus grand effectif
✝ ✆
exemple pour la série de valeurs : G,G,G,G,F,F,F,F,F,A,A,A,A,A
F est un mode de la série car il a le plus grand effectif (5)
A est un mode de la série car il a le plus grand effectif (5) remarques
i. une série de valeurs peut avoir plusieurs modes
ii. dans le cas d’une série de valeurs regroupées par intervalle, on parle de "classe modale"pour l’intervalle de plus grand effectif
iii. plus grand effectif équivaut à plus grande fréquence
7 étendue
7.1 à retenir
définition 18 : (étendue) quelle que soit la série de✞ N valeurs réelles x1; x2; , xN, ☎ ✝e est l’étendue de la série ⇐⇒ e = valeur maximale − valeur minimale ✆
exemple
pour la série de valeurs : 2; 8; 15; 18 e = 18 − 2 = 16
8 moyenne arithmétique
8.1 activités
8.1.1 activité 1 : cas des valeurs en vrac voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits : lac A : 0,2; 0,5; 0,8; 0,9; 100 lac B : 10; 15; 20; 30
a. calculer les profondeurs moyennes respectives xA et xB des lacs A et B
b. quel lac est le plus profond en moyenne? quel est l’effet du 100?
c. peut-on raisonnablement se fier à la profondeur moyenne d’un lac pour juger du dangerde plonger de 5m de haut?
d. quelle mesure de profondeur supplémentaire du lac B lui donnerait la même profondeurmoyenne que le lac A?
e. rappeler la formule de la moyenne x de n nombres x1,x2,x3, ,xn
nombre d’écrans : xi |
3 |
5 |
8 |
10 |
classe B : |
xi |
4 |
9 |
12 |
|
effectifs : ni |
2 |
7 |
12 |
9 |
30P |
ni |
4 |
6 |
10 |
8.1.2 activité 2 : données avec valeurs et effectifs voici les nombres d’écrans par foyers (téléviseur, PC, ) pour les élèves de deux classes. classe A :
a. que signifient les 12 de chaque tableaux?
b. vrai ou faux :
classe A : nombre moyen d’écran = écrans par foyer
c. calculer les nombres moyens d’écrans par foyers xA et xB pour chaque classe d. vrai ou faux : c’est la classe qui a le plus grand nombre moyen qui a le plus grand nombre d’écrans?
e. l’arrivée dans la classe B de nouveaux élèves ayant chacun 7 écrans dans leur foyer fait passer la moyenne à 9 écrans, combien d’élèves sont arrivés dans cette classe?
f. rappeler la formule de la moyenne x de p nombres x1,x2,x3, ,xp d’effectifs respectifs n1,n2,n3, ,np
8.1.3 activité 3 : cas des données avec valeurs regroupées par intervalles Voici la répartition des salaires dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
P |
||||
centres ci |
1100 |
|||
fréquences hommes : hi |
10% |
50% |
40% |
100% |
fréquences femmes : fi |
40% |
50% |
10% |
100% |
a. que signifie chaque 10% du tableau?
b. comparer le salaire moyen des femmes xF et celui des hommes xH
c. est-ce possible? :
"dans cette entreprise, pour chacune des tranches de salaires ci dessus, les femmes gagnent plus que les hommes!"
d. par combien doit-on remplacer le 4000 pour que le salaire moyen des femmes passe à 2000euros? est-ce équitable?
e. rappeler comment on calcule la moyenne dans le cas de valeurs par intervalles
8.2 corrigés activités
8.2.1 corrigé activité 1 : cas des données en vrac
0,2 + 0,5 + 0,8 + 0,9 + 100 102,4 ✞ ☎
1. a. lac A : xA = = = 20,48m de profondeur moyenne
5 5 ✝ ✆ ✞ ☎
lac B : B = = 18,75m de profondeur moyenne
4 ✝ ✆
✞ ☎
b. le lac A est le plus profond en moyenne car 20,48>18,75
✝ ✆ ✞ ☎ le 100 fait fortement augmenter la moyenne xA
la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes✝ ✆
✞ ☎
c. on ne peut raisonnablement pas se fier à la profondeur moyenne d’un lac pour juger du danger de plonger de 5m de haut car ce n’est qu’une moyenne.✝ ✆
d. soit x la mesure de profondeur supplémentaire du lac B qui lui donnerait la même profondeur moyenne que le lac A :
10 + 15 + 20 + 30 + x
xB = = 20,48
5
75 + x
⇐⇒ = 20,48
5
⇐⇒ 75 + x = 5 × 20,48 = 102,4
⇐⇒ x = 102,4 − 75 = 27,4
✞ ☎ la nouvelle mesure doit-être de 27,4m
✝ ✆ ✓ ✏
x1 + x2 + + xn 1 i=n
e. moyenne x de n nombres x1,x2,x3, ,xn : x = = Xxi n n i=1
✒ ✑
8.2.2 corrigé activité 2 : cas des données avec effectifs
2. voici les nombres d’écrans par foyers (téléviseur, PC, ) pour les élèves de deux classes.
nombre d’écrans : xi |
3 |
5 |
8 |
10 |
classe B : |
xi |
4 |
9 |
12 |
|
effectifs : ni |
2 |
7 |
12 |
9 |
30P |
ni |
4 |
6 |
10 |
classe A :
✞ ☎
a. 12 foyers de la classe A ont 8 écrans
✝ ✆ ✞ ☎
12 écrans pour 10 foyers de la classe B
✝ ✆
✄✞ ☎ b. ✂faux ✁car✝ne tient pas compte des effectifs ✆
2 × 3 + 7 × 5 + 12 × 8 + 9 × 10 227 ✞ ☎
c. xA = = ≃ 7,6 écrans par foyer en moyenne
30 30 ✝ ✆
4 × 4 + 6 × 9 + 10 × 12 190 ✞ ☎ xB = = ≃ 9,5 écrans par foyer en moyenne
20 20 ✝ ✆
d. faux car c’est la classe B qui a le plus grand nombre moyen (9,5 > 7,6) et c’est laclasse A qui a le plus grand nombre d’écrans (227>190)
e. l’arrivée dans la classe B de nouveaux élèves ayant chacun 7 écrans dans leur foyer fait passer la moyenne à 9 écrans, soit x le nombre d’élèves arrivés dans cette classe.
4 × 4 + 6 × 9 + 10 × 12 + x × 7
xB = = 9
20 + x
190 + 7x
⇐⇒ = 9
20 + x
⇐⇒ 9(20 + x) = 190 + 7x
⇐⇒ 180 + 9x = 190 + 7x
⇐⇒ 2x = 10
⇐⇒ x = 5
✄
✂il est arrivé 5 nouveaux élèves ✁
f. moyenne x de p nombres x1,x2,x3, ,xp d’effectifs respectifs n1,n2,n3, ,np ✓ ✏
✒ i=1 =1 ✑
8.2.3 corrigé activité 3 : cas des données avec valeurs regroupées par intervalles
3. Voici la répartition des salaires dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
centres ci |
1100 |
1200 + 1600 = 1400 2 |
2800 |
P |
fréquences hommes : hi |
10% |
50% |
40% |
100% |
fréquences femmes : fi |
40% |
50% |
10% |
100% |
a. ✞10% des hommes gagnent entre 1000 euros inclu et 1200 euros exclu ☎
✝ ✆
✞10% des femmes gagnent entre 1600 euros inclu et 4000 euros exclu ☎
✝ ✆
b. xF = 40 × 1100 + 50 × 1400 + 10 × 2800 = 142000 = ✞1420 euros en moyenne ☎
1000 100 ✝ ✆
xH = 10 × 1100 + 50 × 1400 + 40 × 2800 = 193000 = ✞1930 euros en moyenne ☎
100 100 ✝ ✆
c. ✞il est possible que ☎: ✝"dans cette entreprise, pour chacune des tranches de salaires ci dessus, les femmes✆ gagnent plus que les hommes!"
en effet, les moyennes sont calculées par rapport aux centres des intervalles, si chaque femme de chaque tranche gagne la valeur du centre et chaque homme 100 euros de moins, on aura bien les mêmes moyennes que ci dessus et la phrase sera bien vrai!
d. soit x le nombre par lequel on doit remplacer le 4000 pour que le salaire moyen des femmes passe à 2000 euros.
1600 + x 40 × 1100 + 50 × 1400 + 10 ×
xF = 2 = 2000
100
114000 + 10 × (800 + 0,5x)
⇐⇒ = 2000
100
114000 + 8000 + 5x
⇐⇒ = 2000
100
122000 + 5x
⇐⇒ = 2000
100
⇐⇒ 122000 + 5x = 200000
⇐⇒ 5x = 200000 − 122000 = 78000
78000
⇐⇒ x = = 15600 5
✞il faut remplacer le 4000 euros par 15600 euros ☎
✝✞ce n’est pas équitable dans la mesure où on augmente des hauts✆ salaires ☎
✝ ✆
e. d✞en prenant les centres des intervalles et les effectifsans le cas de valeurs par intervalles, on calcule la moyenne☎
✝ ✆
8.3 a retenir :
définition 19 : (moyenne arithmétique) quels que soient les n nombres réels x ,x ,x , ,x exemple : la moyenne arithmétique de 8; 12; 10 est
définition 20 : (moyenne arithmétique avec effectifs) quels que soient les p nombres réels x1,x2,x3, ,xp (valeurs)
quels que soient les p nombres réels n1,n2,n3, ,np ✎(effectifs1 1) 2 2 ☞
n x + n x + + npxp
x =
n + n + + np
i p i p
x est la moyenne de x1,x2,x3, ,xp ✍notée ✓1 1 X2=1= ✏ ✌X==1
de coefficients respectifs ⇐⇒ x = N nixi où N = ni
✎ ✑☞ i i
nixi
aussi notée : x = P
ni
✍ P ✌
exemple :
xi |
4 |
9 |
12 |
ni |
4 |
6 |
10 |
4 × 4 + 6 × 9 + 10 × 12 190
x = = = 9,5
4 + 6 + 10 20
définition 21 : (moyenne arithmétique avec intervalles) quels que soient les p intervalles ce centres respectifs c1,c2,c3, ,cp,
(le centre de l’intervalle [a;b] est quels que soient les p nombres réels n1,n2,n3, ,np (coefficients)
✎ n1c1 + n2c2 + + npcp ☞ x =
✓n1 + n2 + +✏np ✌
x est la moyenne des valeurs regroupées1 i=p Xi=p dans les p intervalles ⇐⇒ notée x = X=1 nixi où n = ni de coefficients respectifs n1,n2,n3, ,npni i=1
aussi notée : ✎x= Pn✑ici ☞
ni
✍ P ✌
exemple
xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
centres ci |
1100 |
1200 + 1600 = 1400 2 |
2800 |
P |
ni |
40% |
50% |
10% |
100% |
8.4 exercices
exercice 4 :
Suite à une évaluation, voici les notes de deux groupes d’élèves :
Groupe 1 : 8; 12; 13; 6; 5; 14 Groupe 2 : 5; 18; 10; 7
A. calculer les étendues e1 et e2 et les moyennes pour chacun des groupes et préciser le groupe qui a le mieux réussi en moyenne et celui qui a les notes les "plus étendues"
B. calculer l’étendue e et la moyenne x pour l’ensemble des deux groupes réunis
C. Vrai ou Faux : "x est la moyenne de et "
D. quelle 7e note x ajouter au Groupe 1 pour que les deux moyennes soient égales?
exercice 5 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des nombres de visites des abonnés pour
la semaine dernière proportions (%) Site 2
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A. que signifient le 50 et le 20% ?
B. combien de personnes sont abonnées au site 1? au site 2?
C. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que et les nombres moyens de visites par abonné pour chaque site la semaine dernière et en déduire celui qui a eu le plus de visite de ses abonnés en moyenne.
D. quel site a eu le plus de visites des ses abonnés au total?
E. combien d’abonnés x à 7 visites aurait-il fallu en plus au site 1 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
exercice 6 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des durées de visites des abonnés pour la semaine dernière
|
A. que signifient le 50 et le 15% ?
B. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que et les durées moyennes des visites par abonné pour chaque site la semaine dernière et en déduire celui qui voit ses abonnés rester connectés le plus longtemps en moyenne
C. quelle durée x aurait-il fallu au site 1 à la place du 60 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
exercice 7 :
Suite à une évaluation, voici les notes de deux groupes d’élèves :
Groupe 1 : 9; 13; 14; 7; 6; 15 Groupe 2 : 6; 19; 11; 8
A. calculer les étendues e1 et e2 et les moyennes et pour chacun des groupes et préciser le groupe qui a le mieux réussi en moyenne et celui qui a les notes les "plus étendues"
B. quelle 5e note x ajouter au Groupe 2 pour que les deux moyennes soient égales?
exercice 8 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des nombres de visites des abonnés pour
le mois dernier proportions (%) Site 2
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que et les nombres moyens de visites par abonné pour chaque site le mois dernier et en déduire celui qui a eu le plus de visite de ses abonnés en moyenne.
B. combien d’abonnés x à 8 visites aurait-il fallu en plus au site 1 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
exercice 9 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des durées de visites des abonnés pour le mois dernier
|
A. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que et les durées moyennes des visites par abonné pour chaque site le mois dernier et en déduire celui qui voit ses abonnés rester connectés le plus longtemps en moyenne
B. quelle durée x aurait-il fallu au site 1 à la place du 20 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
exercice 10 : (moyenne sans coefficients) suite aux épreuves à un examen un candidat obtient les notes suivantes : 8;12;7;14;11;12
(a) écrire un algorithme qui calcule et affiche la moyenne des notes précédentes
(b) modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre de notes (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les notes (pour le stockage des notes on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des notes dans le tableau et pour le calcul du total, on utilisera une
"boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
exercice 11 : (moyenne avec coefficients) suite aux épreuves à un examen un candidat obtient les notes suivantes : 8;12;7;14;11;12 avec pour coefficients respectifs 2;3;5;7;2;4
(a) écrire un algorithme qui calcule et affiche la moyenne des notes précédentes
(b) modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre de notes (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les notes _ les coefficients (pour le stockage des notes, des coefficients on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des notes et des coefficients dans le tableau puis pour le calcul du total, on utilisera une "boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
8.5 corrigés exercices
corrigé exercice 4 :
Suite à une évaluation, voici les notes de deux groupes d’élèves : Groupe 1 : 8; 12; 13; 6; 5; 14 Groupe 2 : 5; 18; 10; 7
_Les populations sont les ensembles constitués des élèves
_la variable est la note obtenue par l’élève
_la variable est de type quantitatif (continu)
A. e1 = 14 − 5 = ✄✂9 ✁ e2 = 18 − 5 = ✄13
✂✁
x1 = 8 + 12 + 13 + 6 + 5 + 14 = 58 = 29 ≃ ✞9,7 ☎
6 6 3 ✝ ✆
x2 = 5 + 18 + 10 + 7 = 40 = ✄10
4 4 ✂ ✁
✞le groupe 2 ☎a le mieux réussi en moyenne car 10 > 9,7
✝ ✆
✞le groupe 2 ☎a les notes les "plus étendues" car 13 > 9
✝ ✆
B. e = 18 − 5 = ✄✂13 ✁ x = 8 + 12 + 13 + 6 + 5 + 14 + 5 + 18 + 10 + 7 = 98 = ✞9,8 ☎
10 10 ✝ ✆
C. ✂✄Faux ✁car : x = 9,8 alors que donc
D. quelle 7e note x ajouter au Groupe 1 pour que les deux moyennes soient égales?
8 + 12 + 13 + 6 + 5 + 14 + x
= 10
7
58 + x
⇐⇒ = 10
7
⇐⇒ 58 + x = 70 ⇐⇒ x = 70 − 58 = ✄12
✂✁
corrigé exercice 5 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des nombres de visites des abonnés pour
la semaine dernière proportions (%)Site 2
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
_Les populations sont les ensembles des abonnés
_la variable est le nombre de visites la semaine dernière
_la variable est de type quantitatif (discret)
A. 50 abonnés du site 1 ont fait 2 visites la semaine dernière
20% des abonnés du site 2 ont fait 3 visites la semaine dernière
B. 340 personnes sont abonnées au site 1on ne peut pas savoir pour la site 2 car on ne dispose que des proportions
C. e1 = 6 − 1 = ✂✄5 ✁ e2 = 7 − 1 = ✄6
✂✁
1 1130 ✞ ☎ x = ≃ 3,3
340 ✝ ✆
2 1 × 5 + 2 × 10 + 3 × 20 + 4 × 25 + 5 × 25 + 6 × 10 + 7 × 5 405 ✞ ☎ x = = = 4,05
100 100 ✝ ✆
✄
✂le site 2 ✁a eu le plus de visites de ses abonnés en moyenne car 4,05 > 3,3
D. quel site a eu le plus de visites des ses abonnés au total?
On ne peut pas savoir car pour le site 2 on ne dispose que des pourcentages
E. combien d’abonnés x à 7 visites aurait-il fallu en plus au site 1 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
x vérifie l’équation suivante :
1130 + 7x
x1 = = 4,05
340 + x
⇐⇒ 1130 + 7x = 4,05(340 + x) ⇐⇒ 1130 + 7x = 1377 + 4,05x
soit environs 84 abonnés
⇐⇒ x ≃ ✞83,73 ☎
✝ ✆
corrigé exercice 6 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des durées de visites des abonnés pour la semaine dernière
|
_Les populations sont les ensembles constitués des abonnés
_la variable est la durée de la visite en minutes
_la variable est de type quantitatif continu
A. 50 des abonnés du site 1 sont restés entre 5 et 15 minutes la semaine dernière
15% des abonnés du site 2 sont restés entre 3 et 6 minutes la semaine dernière
B. e1 = 60 − 0 = ✄✂60 ✁ e2 = 10 − 0 = ✄10
✂✁
1 1412,5 ✞ ☎ x = = 4,15
340 ✝ ✆
2 0,5 × 25 + 2 × 20 + 4,5 × 15 + 8 × 40 440 ✞ ☎ x = = = 4,4
100 100 ✝ ✆
le site 2 voit ses abonnés rester connectés le plus longtemps en moyenne car 4,22 > 4,15
C. quelle durée x aurait-il fallu au site 1 à la place du 60 pour avoir la même moyenne qu’au site 2? x est solution de l’équation suivante :
30 + x 710 + 500 + 67,5 + 3 ×
x1 = 2 = 4,4
340
⇐⇒ 1322,5 + 1,5x = 340 × 4,4 = 1496
⇐⇒ x ≃ ✞115,7 ☎soit 115,7 minutes
✝ ✆
corrigé exercice 7 :
corrigé exercice 8 :
corrigé exercice 9 :
9 quartiles et déciles
9.1 activités
9.1.1 activité 1 : généralités (moyenne, médiane, déciles, diagramme en Boîte)
1. En 2007, en France (sources Insee)
a. "le salaire moyen net a été de x = 1990 euros", signifie que : le total des divisé par le nombre total de vaut
b. "le salaire médian net a été de Q2 = 1600 euros", signifie que :
au moins des salaires sont
au moins des salaires sont
c. est-il vrai que l’on a toujours 50% des valeurs supérieures à la moyenne et 50% desvaleurs inférieures à la moyenne? :
2. a partir d’une série de valeurs ( âges, salaires, ) il est utile de déterminer les 4 quartiles (Q1,Q2,Q3,Q4) où les 10 déciles (D1,D2, ,D10) pour rendre compte de la répartition de cette série de valeurs (sont-elles dispersées?, regroupées? )
Q1 est la plus petite valeur de la série telle que au moins % des valeurs de la série soient inférieurs ou égales à Q1 et au moins % des valeurs lui soient supérieures ou égales. pour Q2 : au moins % en et au moins % au
pour Q3 : au moins % en et au moins Q4 est la valeur maximale de la série. |
% au |
pour D1 : au moins % en et au moins |
% au |
pour D9 : au moins % en et au moins |
% au |
3. on peut ensuite construire le diagramme en Boîte de la série de valeurs : (par exemple) ce diagramme permet de lire que :
— la meilleure note est :
— au moins 25% des notes sont inférieures ou égales à :
— au moins 25% des notes sont supérieures ou égales à :
— au moins 50% des notes sont supérieures ou égales à : — au moins 10% des notes sont inférieures ou égales à :
— au moins 75% des notes sont supérieures ou égales à :
— au moins la moitié des notes sont comprises entre :
9.1.2 activité 2 : quartiles et déciles avec données en vrac
voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits : lac A : 0,2; 0,5; 0,8; 0,9; 0,1; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2; 0,6; 100 lac B : 10; 15; 20; 30; 13; 15; 17; 14; 17; 12
a. déterminer Q1,Q2,Q3,D1,D9 pour chacune des séries de valeurs et construire le diagramme en boîte
b. faire une phrase de commentaire utilisant la médiane et sa signification
b. comparer les profondeurs des deux lacs en utilisant les déciles.
c. le 100 a t-il un effet important sur la valeur de la médiane?
9.1.3 activité 3 : quartiles et déciles avec valeurs et effectifs
nombre d’écrans : xi |
3 |
5 |
8 |
10 |
|
effectifs : ni |
2 |
7 |
12 |
9 |
30P |
effectifs cumulés : ecc |
voici les nombres d’écrans par foyers (téléviseur, PC, ) pour les élèves de deux classes. classe A :
xi |
4 |
9 |
12 |
14 |
ni |
4 |
6 |
10 |
2 |
effectifs cumulés : ecc |
classe B :
a. construire le diagramme en boîte pour chacune des séries
b. comparer les deux séries avec la médiane
9.1.4 activité 4 : quartiles et déciles cas des données avec intervalles
Voici la répartition des salaires dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs hommes : hi |
100 |
500 |
400 |
1000P |
effectifs cumulés croissants : ecc |
||||
effectifs femmes : fi |
200 |
250 |
50 |
500 |
effectifs cumulés croissants : ecc |
a. construire la courbe des effectifs cumulés croissants pour les hommes
b. en déduire graphiquement les valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.
c. retrouver algébriquement les valeurs précédentes.
d. construire le diagramme en boîte
e. procéder de même pour les salaires des femmes
f. comparer les répartitions de salaires avec la médiane
9.2 corrigés activités
9.2.1 corrigé activité 1 : généralités (moyenne, médiane, déciles, diagramme en Boîte)
1. En 2007, en France (sources Insee)
a. "le salaire moyen net a été de x = 1990 euros", signifie que : le total des salaires divisé par le nombre total de salariés vaut 1990
b. "le salaire médian net a été de Q2 = 1600 euros", signifie que : au moins 50% des salaires sont supérieurs aux égaux à 1600 au moins 50% des salaires sont inférieurs aux égaux à 1600
c. est-il vrai que l’on a toujours 50% des valeurs supérieures à la moyenne et 50% desvaleurs inférieures à la moyenne? : non, car ci dessus 50% des salaires sont supérieurs ou égaux à 1600 et non pas 1990
2. a partir d’une série de valeurs ( âges, salaires, ) il est utile de déterminer les 4 quartiles (Q1,Q2,Q3,Q4) où les 10 déciles (D1,D2, ,D10) pour rendre compte de la répartition de cette série de valeurs (sont-elles dispersées?, regroupées? )
Q1 est la plus petite valeur de la série telle que au moins 25% des valeurs de la série soient inférieurs ou égales à Q1 et au moins 75% des valeurs lui soient supérieures ou égales.
pour Q2 : au moins 50% en dessous et au moins 50% au dessus pour Q3 : au moins 75% en dessous et au moins 25% au dessus Q4 est la valeur maximale de la série.
pour D1 : au moins 10% en dessous et au moins 90% au dessus pour D9 : au moins 90% en dessous et au moins 10% au dessus
3. on peut ensuite construire le diagramme en Boîte de la série de valeurs : (par exemple)
ce diagramme permet de lire que :
— la meilleure note est : 19
— au moins 25% des notes sont inférieures ou égales à : 8
— au moins 25% des notes sont supérieures ou égales à : 14
— au moins 50% des notes sont supérieures ou égales à : 12
— au moins 10% des notes sont inférieures ou égales à : 2
— au moins 75% des notes sont supérieures ou égales à : 8
— au moins la moitié des notes sont comprises entre : 2 et 12 ou 8 et 14 ou 12 et 19
9.2.2 corrigé activité 2 : quartiles et déciles cas des valeurs en vrac
voici des mesures de profondeurs de deux lacs en mètres en différents endroits : lac A : 0,2; 0,5; 0,8; 0,9; 0,1; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2; 0,6; 100 lac B : 10; 15; 20; 30; 13; 15; 17; 14; 17; 12
a. détermination de Q1,Q2,Q3,D1,D9 et diagramme en boîte
i. série du lac A :
☎
✝ ✆
• pour Q1 :
Il y a 11 valeurs au total
25% de 11 = 0,25 × 11 = 2,75 arrondi à 3 car Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1
Q✞11est la ☎3e valeur ordonnée Q = 0,2
✝ ✆
• pour Q2 :
Il y a 11 valeurs au total
50% de 11 = 0,5 ×11 = 5,5 arrondi à 6 car Q2 est la plus petite valeur de la série
telle qu’au moins 50% de valeurs soient inférieures ou égales à Q2
Q✞22est la ☎6e valeur ordonnée Q = 0,6
✝ ✆
• pour Q3 :
75% de 11 = 0,75 × 11 = 8,25 arrondi à 9
Q✞33est la ☎9e valeur ordonnée Q = 0,8
✝ ✆
• pour D1 :
10% de 11 = 0,1 × 11 = 1,1 arrondi à 2
✞D11est la ☎2e valeur ordonnée D = 0,2
✝ ✆
• pour D9 :
90% de 11 = 0,9 × 11 = 9,9 arrondi à 10
✞D99est la ☎10e valeur ordonnée
D = 0,9
ii. série du lac B :
•✞on ordonne les valeurs dans l’ordre croissant :☎ 10; 12; 13; 14; 15; 15; 17; 17; 20; 30
✝ ✆
• pour Q1 :
Il y a 10 valeurs au total
25% de 10 = 0,25×10 = 2,5 arrondi à 3 car Q1 est la plus petite valeur de la série
telle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1Q✞1 est la☎3e valeur ordonnée
✆
• pour Q2 :
Il y a 10 valeurs au total
50% de 10 = 0,5 × 10 = 5
Q2 est la 5e valeur ordonnée car Q2 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 50% de valeurs soient inférieures ou égales à☎ Q2
✝ ✆
• pour Q3 :
75% de 10 = 0,75 × 10 = 7,5 arrondi à 8 Q✞3 est la☎8e valeur ordonnée
✆
• pour D1 : 10% de 10 = 0,1 × 10 = 1
✞D11est la☎1re valeur ordonnée
✝D = 10 ✆
• pour D9 : 90% de 10 = 0,9 × 10 = 9
✞D99est la☎9e valeur ordonnée
✝D = 20 ✆
d’où le diagramme en boîte ci dessous :
0 10 13 15 17 20 30
b. phrase de commentaire utilisant la médiane et sa signification pour le lac B :
✞Q2 = 15 signifie que ☎ au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à 15m
✞✝ ✆☎ au moins 50% des valeurs sont supérieures ou égales à 15m .
✝ ✆
c. comparaison des profondeurs des deux lacs en utilisant les déciles. selon les mesures
ci dessus, le lac B semble plus profond que le lac A car :
A : D9 = 0,9 donc au moins 90% des mesures sont inférieures ou égales à 0,9m B : D1 = 10 donc au moins 90% des mesures sont supérieures ou égales à 10m
d. le 100 a t-il un effet important sur la valeur de la médiane?
n✞on, car si on le remplace par 1000 ou 10000 la médiane reste la☎ même la médiane est peu sensible aux valeurs extrèmes ✝ ✆
9.2.3 corrigé activité 3 : quartiles et déciles cas valeurs et effectifs
voici les nombres d’écrans par foyers (téléviseur, PC, ) pour les élèves de deux classes. a. diagrammes en boîtes :
nombre d’écrans : xi |
3 |
5 |
8 |
10 |
|
effectifs : ni |
2 |
7 |
12 |
9 |
30P |
effectifs cumulés : ecc |
2 |
9 |
21 |
30 |
i. pour la séries A : classe A :
• les valeurs sont déja rangées dans l’ordre croissant dans le tableau : • pour Q1 :
Il y a 30 valeurs au total
25% de 30 = 0,25×30 = 7,5 arrondi à 8 car Q1 est la plus petite valeur de la série
telle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1Q1 est la 8e valeur ordonnée la 2e valeur est un 3
de la 3e valeur à la 9e valeur, il n’y a que des 5 la 8e valeur est un 5 ✞Q1 = 5 ☎
✝ ✆
• pour Q2 :
50% de 30 = 0,5 × 30 = 15
Q2 est la 15e valeur ordonnée la 9e valeur est un 5
de la 10e valeur à la 21e valeur, il n’y a que des 8 la 15e valeur est un 8 ✞Q2 = 8 ☎
✝ ✆
• pour Q3 :
75% de 30 = 0,75 × 30 = 22,5 arrondi à 23
Q3 est la 23e valeur ordonnée la 21e valeur est un 8
de la 22e valeur à la 30e valeur, il n’y a que des 10 la 22e valeur est un 10 ✞Q3 = 10 ☎
✝ ✆
• pour D1 : 10% de 30 = 0,1 × 30 = 3 ✞ ☎ valeur ordonnée
✝D1 = 5 ✆
• pour D9 : 90% de 30 = 0,9 × 30 = 27
✞D99est la☎27e valeur ordonnée
✝D = 10 ✆
d’où le diagramme en boîte ci dessous :
xi |
4 |
9 |
12 |
14 |
total |
ni |
4 |
6 |
10 |
2 |
22 |
effectifs cumulés : ecc |
4 |
10 |
20 |
22 |
ii. pour la séries B : classe B :
• les valeurs sont déja rangées dans l’ordre croissant dans le tableau : • pour Q1 :
Il y a 22 valeurs au total
25% de 22 = 0,25×22 = 5,5 arrondi à 6 car Q1 est la plus petite valeur de la série
telle qu’au moins 25% de valeurs soient inférieures ou égales à Q1Q1 est la 6e valeur ordonnée la 4e valeur est un 4
de la 5e valeur à la 10e valeur, il n’y a que des 9
la 6e valeur est un 9☎
✝ ✆
• pour Q2 : 50% de 22 = 0,5 × 22 = 11
Q✞2 est la☎11e valeur ordonnée
✆
• pour Q3 :
75% de 22 = 0,75 × 22 = 16,5 arrondi à 17 Q✞3 est la☎17e valeur ordonnée
✆
• pour D1 :
10% de 22 = 0,1 × 22 = 2,2 arrondi à 3
✞ ☎ valeur ordonnée
✝D1 = 4 ✆
• pour D9 :
90% de 22 = 0,9 × 22 = 19,8 arrondi à 20
✞D99est la☎20e valeur ordonnée
✝D = 12 ✆
d’où le diagramme en boîte ci dessous :
0 4 9 12 14
b. comparaison des deux séries avec la médiane : classe A : Q2 = 8 donc au moins 50% des élèves ont moins de 5 écrans au foyer. classe B : Q2 = 12 donc au moins 50% des élèves ont plus de 12 écrans au foyer.
les élèves de la classe B ont majoritairement plus d’écrans au foyer que ceux de la classe A.
9.2.4 pré-corrigé et corrigé activité 4 ( hommes ) : quartiles et déciles cas des valeurs regroupées par intervalles
Voici la répartition des salaires des hommes dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs : ei |
100 |
500 |
400 |
1000P |
ecci |
pour les hommes :
b. déduction graphique des valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.☎
✆
☎
✆
☎
✆
☎
✆
☎
c. algébriquement : (sur cahier)✆
9.2.5 pré-corrigé et corrigé activité 4 ( hommes FCC) : quartiles dans le cas des valeurs regroupées par intervalles
Voici la répartition des salaires des hommes dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs : ei |
100 |
500 |
400 |
1000P |
Fréquences (%) |
||||
F.C.C (%) |
a. courbe des fréquences cumulées croissantes
b. déduction graphique des valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.
☎ ✞ ☎ ✞ ☎
✆ ✝ ✆ ✝ ✆
Interprétation de la valeur de Q2 : .
Interprétation de la valeur de Q3 : .
Inter quartile (et phrase) :
Voici la répartition des salaires des hommes dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs : ei |
100 |
500 |
400 |
1000P |
ecci |
100 |
600 |
1000 |
pour les hommes :
b. déduction graphique des valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.✞D1 = 1200 euros ☎
✝ ✆
✞Q1 ≃ 1300 euros ☎
✝ ✆
✞Q2 ≃ 1500 euros ☎
✝ ✆
✞Q3 ≃ 2500 euros ☎
✝ ✆
✞D9 ≃ 3400 euros ☎
✝ ✆
c. algébriquement :• pour D1 : aucun calcul, ✞D1 = 1200 euros ☎
✝ ✆
• pour Q1 :
Il y a 1000 valeurs au total
25% de 1000 = 0,25 × 1000 = 250
Q1 est la 250e valeur ordonnée
valeur est considérée comme étant 1200 la 600e valeur est considérée comme étant 1600
la 250e valeur Q1 est donc comprise entre 1200 et 1600, dans l’intervalle [ 1200 ; 1600 [
100e |
250e |
600e |
1200 |
Q1 |
1600 |
on considère que les 500 valeurs de l’intervalle [ 1200 ; 1600 [ sont réparties uniformément, ce qui donne :
100e valeur : 1200
250e valeur : Q1 ou encore
600e valeur : 1600
Q1 est solution de l’équation :(interpolation)
500 400
=
150 Q1 − 1200
400 × 150 = (Q1− 1200) × 500
400 × 150
= Q1− 1200
500
400 × 150
+ 1200 = Q1
500
1320 = Q1
☎
✆
• pour Q2 :
50% de 1000 = 0,5 × 1000 = 500
Q2 est la 500e valeur ordonnée
valeur est considérée comme étant 1200 la 600e valeur est considérée comme étant 1600 la 500e valeur Q2 est donc dans l’intervalle [ 1200 ; 1600 [
on considère que les 500 valeurs de l’intervalle [ 1200 ; 1600 [ sont réparties uniformément, ce qui donne :
100e |
500e |
600e |
1200 |
Q2 |
1600 |
100e valeur : 1200
500e valeur : Q2 ou encore
600e valeur : 1600
Q2 est solution de l’équation : (Interpolatoin)
500 400
=
400 Q2 − 1200
400 × 400 = (Q2− 1200) × 500
400 × 400
= Q2− 1200
500
400 × 400 + 1200 = Q2
☎
✝ ✆
• pour Q3 :
75% de 1000 = 0,75 × 1000 = 750
Q3 est la 750e valeur ordonnée
la 600e valeur est considérée comme étant 1600 la 1000e valeur est considérée comme étant 4000
la 750e valeur Q3 est donc dans l’intervalle [ 1600 ; 4000 [
on considère que les 400 valeurs de l’intervalle [ 1600 ; 4000 [ sont réparties uniformément, ce qui donne :
600e |
750e |
1000e |
1600 |
Q3 |
4000 |
600e valeur : 1600
750e valeur : Q3 ou encore
1000e valeur : 4000
Q3 est solution de l’équation : (interpolation)
400 2400
=
150 Q3 − 1600
150 × 2400 = (Q3 − 1600) × 400
150 × 2400
= Q3 − 1600
400
150 × 2400
+ 1600 = Q3
☎
✝ ✆ ✞ ☎ • pour D9 : on trouve de même
✝ ✆
d. diagramme en boîte
Q3
9.2.6 pré-corrigé et corrigé activité 4 ( femmes ) : quartiles et déciles cas des valeurs regroupées par intervalles
Voici la répartition des salaires dans une entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
||
effectifs : ei |
200 |
250 |
50 |
500P |
|
ecci |
courbe des effectifs cumulés croissants
déduction graphique (et algébrique) des valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.
Q1 = |
euros |
D9 = |
euros |
D1 = |
euros |
Q3 = |
euros |
✞☎✞☎✞Q2 = euros ☎
✝✆✝✆✝ ✆
✞☎✞☎
✝✆✝✆
diagramme en boîte
f. comparaison des répartitions de salaires avec la médiane :
Hommes : Q2 = donc au moins % des hommes ont plus de euros. Femmes : Q2 = donc au moins % des femmes ont moins de euros. les hommes ont des salaires plus que ceux des
9.2.7 pré-corrigé et corrigé activité 4 ( femmes ) : quartiles dan le cas des valeurs regroupées par intervalles FCC
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs : ei |
200 |
250 |
50 |
500P |
fréquences |
||||
FCC |
Voici la répartition des salaires dans une entreprise. courbe des fréquences cumulées croissantes
✄✂Min= euros ✁✞✝Q1 = euros ☎✆✞✝Q2 = euros ☎✆
3 ☎✄Max= euros ✁
✝ ✆✂
diagramme en boîte
f. comparaison des répartitions de salaires avec la médiane :
Hommes : Q2 = donc au moins % des hommes ont plus de euros.
Femmes : Q2 = donc au moins % des femmes ont moins de euros. les hommes ont des salaires plus que ceux des
Inter quartile (phrase et interprétation)
e. procéder de même pour les salaires des femmes Voici la répartition des salaires dansune entreprise.
salaires : xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs : ei |
200 |
250 |
50 |
500P |
ecci |
200 |
450 |
500 |
400
300
200
100
déduction graphique (et algébrique) des valeurs des quartiles et du premier et dernier décile.
✞D1 = 1050 euros ☎✞Q1 = 1125 euros ☎✞Q2 = 1280 euros ☎
✝ ✆✝ ✆✝ ✆
✞Q3 = 1480 euros ☎✞D9 = 1600 euros ☎
✝ ✆✝ ✆
f. comparaison des répartitions de salaires avec la médiane :
Hommes : Q2 = 1320 donc au moins 50% des hommes ont plus de 1320 euros. Femmes : Q2 = 1280 donc au moins 50% des femmes ont moins de 1280.
les hommes sont majoritairement des salaires plus élevés que ceux des femmes.
9.3 a retenir : définition 22 :
quelle que soit la série de n valeurs réelles x1,x2,x3, ,xn,
le nombre noté me (aussi Q2) est une médiane
au moins 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à me
⇐⇒ et
au moins 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à me
remarques :
a. pour la série : 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10me = 10 vérifie bien la définition 1 et ✞il n’y a qu’une seule médiane possible ☎
✝ ✆
b. pour la série : 9; 10; ✄✂12 ✁; 14; 20 me = 12 vérifie bien la définition 1 et ✞il n’y a qu’une seule médiane possible ☎
✝ ✆
c. pour la série : 9; 10; 12; 16; 18; 20
me = 12 vérifie bien la définition 1 me = 12,1 vérifie aussi la définition 1
mem= 12e = 16,2 vérifie aussi lavérifie aussi ladéfinition 1définition 1 et ✞il y a une infinité de médianes possibles ☎
✝ 12 + 16 ✆
on peut prendre la moyenne de 12 et 16 c’est à dire pour simplifier nous prendrons la médiane donnée par la propriété suivante :
propriété 1 :
quelle que soit la série de n valeurs réelles x1,x2,x3, ,xn,
✞la plus petite valeur de la série telle que :☎
✝ au moins 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à cette médiane✆
et au moins 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à cette médiane
existe et est une médiane de la série
démonstration : (cette propriété est admise) Remarques : de même :
— le premier quartile Q1 a pour pourcentages respectifs : 25% et 75%
— le second quartile Q2 est la médiane
— le troisième quartile Q3 a pour pourcentages respectifs : 75% et 25% et aussi
— le premier décile D1 a pour pourcentages respectifs : 10% et 90% —
— le neuvième décile D9 a pour pourcentages respectifs : 90% et 10%
propriété 2 :
quelle que soit la série de n valeurs réelles x1,x2,x3, ,xn, soit le nombre me tel que :
✞ ☎
si 50% × n est un entier : me = la valeur de rang (50% × n)
et ✝ ✞ ✆ ☎
si 50% × n n’est pas entier : ✝me =la valeur de rang "l’arrondi supérieur de (50% × n)" ✆ me est une médiane de la série de valeurs
démonstration : (cette propriété est admise)
: on procède de même pour chacun des quartiles ou des déciles.
exemples :
A. soit la série de valeurs : 0,2; 0,5; 0,8; 0,9; 0,1; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2; 0,6; 100
☎
✝ ✆
• pour Q1 :
— Il y a 11 valeurs au total
25% de 11 = 0,25 ×11 = 2,75 arrondi à 3 car Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25% de valeu✞rs soien1 t inférieures ou égales à☎ Q1Q1 est la 3e valeur ordonnée Q = 0,2
✝ ✆
xi |
3 |
5 |
8 |
10 |
|
effectifs : ni |
2 |
7 |
12 |
9 |
30P |
effectifs cumulés : ecc |
2 |
9 |
21 |
30 |
B. • les valeurs sont déja rangées dans l’ordre croissant dans le tableau :
• pour Q2 :
50% de 30 = 0,5 × 30 = 15
Q2 est la 15e valeur ordonnée la 9e valeur est un 5
de la 10e valeur à la 21e valeur, il n’y a que des 8 la 15e valeur est un 8 ✞Q2 = 8 ☎
✝ ✆
xi |
[ 1000 ; 1200 [ |
[ 1200 ; 1600 [ |
[ 1600 ; 4000 [ |
|
effectifs : ei |
100 |
500 |
400 |
1000P |
ecci |
100 |
600 |
1000 |
C.
• pour Q1 :
Il y a 1000 valeurs au total, 25% de 1000 = 0,25×1000 = 250 , Q1 est la 250e valeur ordonnée
la 100e valeur est considérée comme étant 1200 la 600e valeur est considérée comme étant 1600
la 250e valeur Q1 est donc comprise entre 1200 et 1600, dans l’intervalle [ 1200 ; 1600 [
on considère que les 500 valeurs de l’intervalle [ 1200 ; 1600 [ sont réparties uniformément, ce qui donne :
100e |
250e |
600e |
1200 |
Q1 |
1600 |
100e valeur : 1200
250e valeur : Q1 ou encore
1600e valeur : 1600
Q est solution de l’équation : (Interpolation)
500 400
=
150 Q1 − 1200
400 × 150 = (Q1 − 1200) × 500
400 × 150 1 400 × 150 1 1 ✞ 1 ☎
= Q − 1200 , + 1200 = Q , 1312 = Q , Q = 1312
500 500 ✝ ✆
propriété 3 :
démonstration : (cette propriété est admise) Exemples :
— la série 1,5,10,,20 de 4 valeur a pour médiane la moyenne des valeurs
soit les 2e et 3e valeurs qui sont 5 et 10 soit
— la série 1,5,10 de 3 valeur a pour médiane la valeurs soit la 2e valeurs qui est 5 soit me = 5
9.4 exercice exercice 12 : Voici la répartition des âges de médecins remplaçants dans une région de France.
âge : x |
[ 25 ; 35 [ |
[ 35 ; 45 [ |
[ 45 ; 60 [ |
[ 60 ; 75 [ |
|
P |
|||||
effectif : n |
89 |
65 |
36 |
10 |
|
fréquence (%) : f |
(1) |
||||
fréquence cumulée croissante (%) : fcc |
1. que signifie le 65 du tableau?
2. compléter le tableau à la précision de 0,1% en détaillant le calcul de la case (1)
3. représenter graphiquement la courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous.(mettre une légende aux axes)
4. Déterminer graphiquement et à un an près (tracés apparents).
a. la valeur du premier quartile. (donner une phrase d’interprétation)
b. la valeur de la médiane.
c. la valeur du troisième quartile.
d. que dire de l’âge des médecins remplaçants? (utiliser la médiane)
5. Retrouver par le calcul la valeur de la médiane et du premier quartile.
(détailler les calculs sur le cahier)
corrigés exercices
Voici la répartition des âges de médecins remplaçants dans une région de France.
âge : x |
[ 25 ; 35 [ |
[ 35 ; 45 [ |
[ 45 ; 60 [ |
[ 60 ; 75 [ |
|
effectif : n |
89 |
65 |
36 |
10 |
200P |
fréquence (%) : f |
(1)44,5% |
32,5 % |
18% |
5% |
100% |
fréquence cumulée croissante (%) : fcc |
44,5% |
77% |
95% |
100% |
1. que signifie le 65 du tableau?
65 médecins remplaçants ont entre 35 ans inclu et 45 ans exclu.
2. compléter le tableau à la précision de 0,1% en détaillant le calcul de la case (1)
5%
3. représenter graphiquement la courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous.(mettre une légende aux axes)
4. Déterminer graphiquement et à un an près (tracés apparents).
a. la valeur du premier quartile : Q1 ≃ 30 ans donc au moins 25% des médecins remplaçants ont de 25 à 30ans
b. la valeur de la médiane : Me ≃ 36 ans
c. la valeur du troisième quartile : Q3 ≃ 44 ans
d. que dire de l’âge des médecins remplaçants?ils sont relativement jeunes car 50% ont moins de 36 ans.
5. Retrouver par le calcul la valeur de la médiane et des premiers et derniers quartiles.
Pour Q1 : Q1 est dans l’intervalle [ 25 ; 35 [
soit 31 ans.
Pour Q2 : Q2 est dans l’intervalle [ 35 ; 45 [
soit 38 ans.
10 exercices
exercice 1 :
(a) écrire un algorithme qui donne la valeur de l’angle au centre d’un diagramme circulairesi on entre l’effectif total et l’effectif de la valeur
(b) écrire un algorithme qui donne la hauteur du rectangle d’un histogramme si on entrel’effectif total, l’effectif de l’intervalle ainsi que ses bornes
exercice 2 : (angle diagramme circulaire) suite aux épreuve du premier groupe d’un examen on obtient :
Admis : 212; Convoqués au rattrapage : 84; Refusés : 42
1. écrire un algorithme qui calcule et affiche les trois angles angle_A, angle_C et angle_R du diagramme circulaire qui représente les données précédentes
2. modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre de catégories distinctes (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les effectifs de chacune des catégories
(pour le stockage des effectifs on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des effectifs dans le tableau, pour le calcul de l’effectif total et pour l’affichage des résultats on utilisera une "boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
exercice 3 : (hauteur histogramme) suite aux épreuve du premier groupe d’un examen on obtient :
[0;8[: 42 (Refusés); [8;10[: 84 (rattrapage);[10;20] : 212 (Admis)
1. écrire un algorithme qui calcule et affiche les trois hauteurs hauteur_A, hauteur_Cet hauteur_R de l’histogramme qui représente les données précédentes
2. modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre d’intervalles (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les effectifs de chacun des intervalles
_ les bornes des intervalles (pour le stockage des effectifs et des bornes on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des effectifs dans le tableau, pour le calcul de l’effectif total et pour l’affichage des résultats on utilisera une "boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
exercice 4 :
Suite à une évaluation, voici les notes de deux groupes d’élèves :
Groupe 1 : 8; 12; 13; 6; 5; 14 Groupe 2 : 5; 18; 10; 7
i. calculer les étendues e1 et e2 et les moyennes pour chacun des groupes et préciser le groupe qui a le mieux réussi en moyenne et celui qui a les notes les "plus étendues"
ii. calculer l’étendue e et la moyenne x pour l’ensemble des deux groupes réunis iii. Vrai ou Faux : "x est la moyenne de " iv. quelle 7e note x ajouter au Groupe 1 pour que les deux moyennes soient égales? exercice 5 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des nombres de visites des abonnés pour
la semaine dernière proportions (%) Site 2
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i. que signifient le 50 et le 20% ?
ii. combien de personnes sont abonnées au site 1? au site 2?
iii. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que et les nombres moyens de visites par abonné pour chaque site la semaine dernière et en déduire celui qui a eu le plus de visite de ses abonnés en moyenne.
iv. quel site a eu le plus de visites des ses abonnés au total?
v. combien d’abonnés x à 7 visites aurait-il fallu en plus au site 1 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
exercice 6 :
Concernant deux sites internet, voici un bilan des durées de visites des abonnés pour la semaine dernière
|
i. que signifient le 50 et le 15% ?
ii. calculer les étendues e1 et e2 ainsi que et les durées moyennes des visites par abonné pour chaque site la semaine dernière et en déduire celui qui voit ses abonnés rester connectés le plus longtemps en moyenne
iii. quelle durée x aurait-il fallu au site 1 à la place du 60 pour avoir la même moyenne qu’au site 2?
exercice 7 : (moyenne sans coefficients) suite aux épreuves à un examen un candidat obtient les notes suivantes : 8;12;7;14;11;12
1. écrire un algorithme qui calcule et affiche la moyenne des notes précédentes
2. modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre de notes (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les notes (pour le stockage des notes on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des notes dans le tableau et pour le calcul du total, on utilisera une
"boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
exercice 8 : (moyenne avec coefficients) suite aux épreuves à un examen un candidat obtient les notes suivantes : 8;12;7;14;11;12 avec pour coefficients respectifs 2;3;5;7;2;4
1. écrire un algorithme qui calcule et affiche la moyenne des notes précédentes
2. modifier l’algorithme précédent afin qu’il fasse la même chose quand on entre :
_ le nombre de notes (il peut y en avoir de 2 à autant que l’on veut)
_ les notes _ les coefficients (pour le stockage des notes, des coefficients on utilisera un tableau indicé)
(pour l’entrée des notes et des coefficients dans le tableau puis pour le calcul du total, on utilisera une "boucle pour" )
( en javascript un tableau se déclare : mon_tableau = new Array()
exercice 9 : Voici la répartition des âges de médecins remplaçants dans une région de France.
âge : x |
[ 25 ; 35 [ |
[ 35 ; 45 [ |
[ 45 ; 60 [ |
[ 60 ; 75 [ |
|
P |
|||||
effectif : n |
89 |
65 |
36 |
10 |
|
fréquence (%) : f |
(1) |
||||
fréquence cumulée croissante (%) : fcc |
1. que signifie le 65 du tableau?
2. compléter le tableau à la précision de 0,1% en détaillant le calcul de la case (1)
3. représenter graphiquement la courbe des fréquences cumulées croissantes ci dessous.(mettre une légende aux axes)
4. Déterminer graphiquement et à un an près (tracés apparents).
a. la valeur du premier quartile. (donner une phrase d’interprétation)
b. la valeur de la médiane.
c. la valeur du troisième quartile.
d. que dire de l’âge des médecins remplaçants? (utiliser la médiane)
5. Retrouver par le calcul la valeur de la médiane et du premier quartile.
(détailler les calculs sur le cahier)
11 évaluations
12 devoir maison
12.1 devoir maison 1
Devoir Maison
Exercice 1 : (7 page 116) auquel sont ajoutées les questions suivantes :
5. calculer la moyenne
6. calculer l’étendue
7. donner le mode
Exercice 2 : (14 page 119) auquel sont ajoutées les questions suivantes :
3.d. construire le diagramme en boîte avec légende
3.e. retrouver la médiane Q2 par le calcul
4. calculer la moyenne
5. calculer l’étendue
6. donner la classe modale
Exercice 3 : (22 page 121)
Exercice 4 : (45 page 129)
12.2 corrigé devoir maison 1
12.3 évaluation
13 travaux pratiques
13.1 tp tableur
13.1.1 tp1 : avec les formules toutes faites
Nom :
Statistiques : utilisation du Tableur |
TP :
1. ouvrir et enregistrer dans votre dossier Math, le fichier "tp (tableur)" de la ligne "Statistiques" de la page d’accueil de "secondes" du site "" sous le nom "tp_statistiques"
2. diagramme circulaire
(a) ouvrir l’onglet "calcul_nature" de la feuille "tp_statistiques" qui contient des informations sur les élèves d’une classe
(b) quelle formule entrer en D4 pour obtenir le nombre de fois où la chaine "g" apparaît dans la plage A2 : A28 ? : (c) quelle formule entrer en E4 pour obtenir le nombre de fois où la chaine "f" apparaît dans la plage A2 : A28 ? :
(d) donner une autre formule pour la cellule F4 :
(e) formule entrée en D5 pour obtenir la fréquence :
(f) formule entrée en E5 pour obtenir la fréquence :
(g) formule entrée en F5 :
(h) obtenir le diagramme circulaire comme indiqué dans la feuille annexe
(i) obtenir l’affichage de valeurs ( clic droit sur la zone de graphique −→ options du graphique −→ étiquettes de données −→ afficher valeurs ) (j) population :
(k) nature de la variable : (l) mode :
3. diagramme en bâtons
(a) ouvrir l’onglet "calcul_enfants" de la feuille "tp_statistiques" qui contient des informations sur les nombres d’enfants à la maison pour les familles des élèves d’une classe
(b) quelle formule entrer en D5 pour obtenir le nombre de fois où la valeur présente en D3 apparaît dans la plage A2 : A30 ? :
(c) à quoi sert le dollar dans la formule = D4/$O4 entrée en D5? :
(d) formule entrée en O5 :
(e) obtenir le diagramme en bâtons comme indiqué dans la feuille annexe (f) population :
(g) nature de la variable :
(h) mode :
(i) étendue :
4. calculs statistiques (on utilisera au mieux l’annexe donnée)
(a) ouvrir l’onglet "calcul_statistiques" de la feuille "tp_statistiques" qui contient les notesobtenues à un contrôle par les élèves d’une classe
(b) donnez ci dessous et entrez dans la cellule C10 la formule qu’il faut pour qu’elle affiche le nombre de cellules qui ne sont pas vides dans la plage de cellules A2 : A29 :
quel est alors l’effectif total? :
(c) donnez et entrez en C11 la formule pour obtenir le minimum de la plage de cellules A2 : A29 :
(d) de même dans C12 pour obtenir le maximum de la plage de cellules A2 : A29 :
(e) donnez et entrez en C13 la formule pour obtenir le mode de la plage de cellules A2 : A29 :
(f) donnez et entrez en C14 la formule pour obtenir la moyenne de la plage de cellules A2 : A29 :
(g) donnez et entrez en C15 la formule pour obtenir la médiane de la plage de cellules A2 : A29 :
(h) donnez et entrez en C16 la formule pour obtenir le premier quartile de la plage de cellules A2 : A29 : (i) donnez et entrez en C17 la formule pour obtenir le second quartile de la plage de cellules A2 : A29 :
(j) donnez et entrez en C18 la formule pour obtenir le troisième quartile de la plage de cellules A2 : A29 :
(k) effacer les valeurs présentes dans la plage A2 : A29 voici les notes d’un élève pour un trimestre : élève A : 10,5,1,2,8,4,6,8,7,9,7,2 donner les résultats ci dessous : effectif : min : max : mode : moyenne : médiane :
(l) expliquer ce que signifie la valeur de la médiane :
(m) un élève B a les notes suivantes : 2,3,4,8,9,7,4,2,9,7,1,1
i. lequel des deux élèves est le meilleur d’après la moyenne? (justifier) : ii. lequel des deux élèves est le meilleur d’après la médiane? (justifier) :
5. courbe des fréquences cumulées
(a) entrer dans la cellule A2 la formule suivante =ent(11*alea()) tirer cette formule jusqu’à A29 (on obtient des nombres entiers aléatoires entre 0 et 10)
(b) entrer dans la cellule C3 la formule suivante ($A2 :$A29;C2) puis étirer la formule vers la droite jusqu’a la cellule M3 expliquer ce que fait la formule entrée en C3 :
(c) obtenir la somme des cellules C3 à M3 dans la cellule N3
(d) quelle formule faut-il entrer en C4 pour obtenir le résultat attendu? :
(e) étirer la formule C4 jusqu’à M4 puis obtenir le total en N4 (f) en déduire la formule à entrer en C22 pour obtenir la moyenne :
(g) entrer une formule en C21 pour obtenir l’étendue :
(h) entrer la formule = C3/$N3 dans la cellule C6 puis étirer jusqu’à M6 et obtenir le total en N6. quel total obtenez vous en N6? :
(i) entrer la formule = C6 dans la cellule C7
(j) entrer dans la cellule D7 la formule suivante = C7 + D6
(k) étirer la formule D7 jusqu’à M7, valeur obtenue en M7 :
(l) obtenir la courbe des fréquences cumulées avec titre et légende en utilisant l’annexe(m) retrouver la valeur de la médiane graphiquement. valeur trouvée graphiquement :
(n) trouver grâce aux formules toutes faites le premier et le dernier décile.
interpréter la valeur du dernier décile :
FORMULES TABLEUR (1/2)
pour faire |
formule type |
exemple |
compter le nombre de cellules qui ne sont pas vides |
=NBVAL(cellule départ : cellule fin) |
= NBV AL(B1 : B5) donne le nombre de cellules non vides dans la plage B1 : B5 |
Calculer la plus petite valeur d’une plage de valeurs |
=MIN(cellule départ : cellule fin) |
=MIN(B1 :B5) calcule la plus petite valeur dans la plage B1 : B5 |
Calculer la plus grande valeur d’une plage de va- leurs |
=MAX(cellule départ : cellule fin) |
=MAX(B1 :B5) calcule la plus grande valeur dans la plage B1 : B5 |
Calculer le mode d’une plage de valeurs |
=MODE(cellule départ : cellule fin) |
=MODE(B1 :B5) calcule le mode dans la plage B1 : B5 |
Calculer la moyenne d’une plage de valeurs |
=MOYENNE(cellule départ : cellule fin) |
=MOYENNE(B1 :B5) calcule la moyenne dans la plage B1 : B5 |
Calculer la variance d’une plage de valeurs |
=VAR(cellule départ : cellule fin) |
=VAR(B1 :B5) calcule la variance dans la plage B1 : B5 |
Calculer l’écart type d’une plage de valeurs |
= ECARTYPE(cellule départ : cellule fin) |
=ECARTYPE(B1 :B5) calcule la variance dans la plage B1 : B5 |
Calculer la médiane d’une plage de valeurs |
=MEDIANE(cellule départ : cellule fin) |
=MEDIANE(B1 :B5) calcule la médiane dans la plage B1 : B5 |
Calculer le ieme quartile d’une plage de valeurs (i = 1 à 4) |
=QUARTILE(cellule départ : cellule fin ;i) |
=QUARTILE(B1 :B5;1) calcule le premier quartile dans la plage B1 : B5 |
Compter le nombre de cellules à l’intérieur d’une plage qui répondent à un critère |
(plage; critère) |
(B1 :B5; 10) donne le nombre de cellules qui contiennent 10 à l’intérieur de la plage dans la plage B1 : B5 |
Calculer la somme des valeurs d’une plage de va- leurs |
=SOMME(cellule départ : cellule fin) |
=SOMME(B1 :B5) calcule la somme dans la plage B1 : B5 |
Étirer une formule |
La poignée de recopie est située en bas à droite des cellules sélectionnées et marquée par un petit carré à capturer et à tirer |
on tire le petit carré |
Créer une référence absolue : la référence sera vérouillée et ne subira aucune modification lors d’un étirage de formule |
Faire précéder la référence du symbole $ (dollard) |
$A1 fera toujours référence à la colonne A, A$1 fera toujours référence à la ligne 1, $A$1 fera toujours référence à la cellule A1 |
FORMULES TABLEUR (2/2)
pour faire |
formule type |
|
Obtenir un diagramme circulaire |
insertion Graphique Secteurs Suivant Série Supprimer (toutes les séries) Ajouter Etiquettes de catégories : տ flèche rouge sélectionner les valeurs à la souris puis ↓ flèche rouge Valeurs : տ flèche rouge sélectionner les valeurs à la souris puis ↓ flèche rouge Suivant titre du graphique Suivant En tant qu’objet dans Terminer |
|
Obtenir un diagramme en bâtons |
insertion Graphique Histogramme Suivant Série Supprimer (toutes les séries) Ajouter Etiquettes des abscisses(X) : տ flèche sélectionner les valeurs à la souris puis Valeurs : տ flèche rouge sélectionner les valeurs à la souris puis Suivant remplir titre et légendes des axes Suivant En tant qu’objet dans Terminer |
rouge ↓ flèche rouge ↓ flèche rouge |
Obtenir une courbe |
insertion Graphique Nuage de points Nuage de points reliés par une courbe Suivant Série Supprimer (toutes les séries) Ajouter Valeur X : տ flèche rouge sélectionner les valeurs à la souris puis |
↓ flèche rouge |
Valeurs Y : տ flèche rouge sélectionner les valeurs à la souris puis Suivant remplir titre et légendes des axes Suivant En tant qu’objet dans Terminer |
↓ flèche rouge |
14 activité globale
14.1 activité globale 1
On souhaite comparer le niveau scolaire atteint par 4 élèves d’une classe.
Pour cela, on considère l’ensemble des évaluations passées et on relèves les notes obtenues
Elève A : 10; 10; 9; 11; 12; 15; 8; 9; 11; 10 (notes en vrac)
notes : xi |
7 |
9 |
10 |
10,5 |
11 |
12 |
16 |
|
effectifs : ni |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
12P |
Elève B :(notes avec effectifs)
notes : |
[0;5] |
]5;10] |
]10;15] |
]15;20] |
|
centre : xi |
2,5 |
7,5 |
P |
||
effectifs : ni |
7 |
P 10 |
|||
fréquences (%)fi |
0% |
70% |
0% |
100% |
|
f.c.c (%)fcci |
0% |
70% |
Elève C :(avec intervalles)
Elève D : (diagramme en boîte)
1. pour chaque élève :
(a) Population de l’étude statistique? :
(b) Variable étudiée sur cette population? :
(c) Nature de la variable étudiée? :
(qualitative, quantitative, continue ou discrète)
2. Pour chaque élève, déterminer les indicateurs statistiques suivants en détaillant les calculséventuels ou les tracés graphiques
Elève |
A |
B |
C |
D |
N effectif total |
||||
Mode ou classe modale |
||||
xmin |
||||
xmax |
||||
e = étendue |
||||
m = moyenne |
||||
Médiane Me |
||||
Q1 1er Quartile |
||||
Q2 2nd Quartile |
||||
Q3 3e Quartile |
3 |
|||
Q3 − Q1 Inter-Quartiles |
. classer les élèves (meilleurs résultats, plus régulier) en fonction des indicateurs que vous choisirez (moyenne, médiane, ) et faire un commentaire
4. retrouver les résultats du tableau en utilisant les fonctions statistiques de la calculatrice
15 corrigé activité globale
15.1 corrigé activité globale 1
On souhaite comparer le niveau scolaire atteint par trois élèves d’une classe.
Pour cela, on considère l’ensemble des évaluations passées et on relèves les notes obtenues
Elève A : 10; 10; 9; 11; 12; 15; 8; 9; 11; 10 (notes en vrac)
notes : xi |
7 |
9 |
10 |
10,5 |
11 |
12 |
16 |
|
effectifs : ni |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
12P |
notes : xi |
[0;5] |
]5;10] |
]10;15] |
]15;20] |
|
effectifs : ni |
7 |
3 |
10P |
Elève B :(notes avec effectifs) Elève C :(notes avec intervalles)
1. pour chaque élève :
(a) la population de l’étude statistique est ✞l’ensemble des évaluations passées ☎
((b) la variable étudiée sur cette population estc) la variable étudiée est de nature ✞quantitative✝ ✄la note obtenue à l’évaluation ✁✆
✂ ☎(car c’est une valeur numérique) et
✄discrète ✁(car une note ne peut pas prendre toutes les valeurs entre 0 et✝ ✆ 20)
✂
2. Pour chaque élève, déterminer les indicateurs statistiques suivants en détaillant les calculséventuels sur le cahier où les xi sont les notes des élèves
Elève |
A |
B |
C |
N = effectif total |
10 |
12 |
10 |
Mode ou classe modale |
10 |
10 |
]5;10] |
xmin |
8 |
7 |
5 |
xmax |
15 |
16 |
15 |
e = étendue |
15-8 = 7 |
16-7 = 9 |
15 - 5 = 10 |
m = moyenne |
10,5 |
10,5 |
9 |
Médiane |
10 |
10 |
≃ 8,6 |
Q1 = Premier Quartile |
|||
Q2 = second Quartile |
|||
Q3 = troisième Quartile |
|||
Inter-Quartiles |
(a) ✄✂Effectif totalNest le nombre total de valeurs (notes)✁: ✂✄N ✁
ici,
(b) ✄✂ici, c’est la (les) valeur(s) qui revient(reviennent) le plus souvent;Mode ou classe modale ✁:
Pour un intervalle, on l’appelle la "classe modale"
(c) ✄✂Maximum ✁: ✄✂xmax ✁ ici, c’est la plus grande des valeurs
pour un intervalle, on prend la borne supérieure de l’intervalle
(d) ✄✂Minimum ✁: ✄✂xmin ✁ ici, c’est la plus petite des valeurs
pour un intervalle, on prend la borne inférieure de l’intervalle
(e) ✂✄étendue :✁ ✂✄e ✁ ici, c’est la plus grande valeur - la plus petite valeur
(f) ✄✂✎moyenne :somme des notes✄✂x✁ou ✂✄m☞✁ ✁
x =
avec des intervalles, on prend les✍ effectif total ✌ ☛centresa+ b des intervalles pour valeurs✟
le centre de l’intervalle [a;b] est c =
✡ 2 ✠
pour A : x = 10 + 10 + 9 + 11 + 12 + 15 + 8 + 9 + 11 + 10 = 105 = ✞10,5 ☎
10 10 ✝ ✆
pour B : x = 1 × 7 + 1 × 9 + 3 × 10 + 2 × 10,5 + 2 × 11 + 1 × 12 + 1 × 16 = 126 = ✞10,5 ☎
12 12 ✝ ✆
5 + 10 ✞ ☎ 10 + 15 ✞ ☎
pour C : on calcule les centres des intervalles : = 7,5 et = 12,5
2 ✝ ✆ 2 ✝ ✆
puis on calcule la moyenne : x = 7 × 7,5 + 310 × 12,5 = 9010 = ✄✂9 ✁
(g) ✂✄médiane ✁: ✄✂me ✁ sans intervalles : si l’effectif total est pair, la médiane est la moyenne de la valeur ordonnée et de la
si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur ordonnée
avec intervalles : , on utilise la courbe des fréqences cumulées et la fréquence cumulée de 50% pour A : les valeurs ordonnées sont : 8; 9; 9; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 15;
10
N = 10 est pair et = 5
e 2
la 5 valeur ordonnée est 10 la 6e valeur ordonnée est 10
10 + 10 la médiane est : = 10
2
pour B : les valeurs ordonnées sont : 7; 9; 9; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 11; 11; 12; 16
12
N = 12 est pair et = 6 e 2
la 6 valeur ordonnée est 10 la 7e valeur ordonnée est 10 10 + 10
la médiane est : = 10
2
pour C : on utilise la courbe des fréquences cumulées
notes : xi |
[0;5] |
]5;10] |
]10;15] |
]15;20] |
|
effectifs : ni |
7 |
3 |
10P |
||
fréquences : fi |
0% |
7 = 70% |
3 = 30% |
0% |
100% |
fréquences cumulées : fcci |
0% |
70% |
70% + 30% = 100% |
On lit que la médiane est d’environs : me ≃ 8,6 le premier quartile est d’environs Q1 ≃ 6,9 le troisième quartile est d’environs Q3 ≃ 10,9
✞ ☎ ✞ ☎ ✞ ☎ premier quartile et troisième quartile : Q et Q3
sans intervalles :✝ ✆ ✆ ✝ ✆
Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 50% des valeurs soients inférieures ou égales à Q1
Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des valeurs soients inférieures ou égales à Q3avec intervalles : on utilise la courbe des fréqences cumulées et les fréquences cumulées de 25% et 75%
3. classer les élèves en fonction des indicateurs que vous choisirez (moyenne, médiane, ) et faire un comentaire
4. quelle note ajouter à l’élève C pour que sa moyenne passe à 10? ( justifier par calcul)
5. retrouver les résultats du tableau en utilisant les fonctions statistiques de la calculatrice
16 activité globale
16.1 activité globale 2
On souhaite comparer le niveau scolaire atteint par 4 élèves d’une classe.
Pour cela, on considère l’ensemble des évaluations passées et on relèves les notes obtenues
Elève A : 10; 10; 9; 11; 12; 15; 8; 9; 11; 10; 18 (notes en vrac)
notes : xi |
7 |
9 |
10 |
10,5 |
11 |
12 |
16 |
|
effectifs : ni |
1 |
2 |
4 |
2 |
2 |
1 |
3 |
P |
notes : |
[0;5] |
]5;10] |
]10;15] |
]15;20] |
|
centre : xi |
2,5 |
7,5 |
P |
||
effectifs : ni |
5 |
8 |
3 |
P 20 |
|
fréquences (%)fi |
% |
% |
% |
% |
100% |
f.c.c (%)fcci |
% |
% |
% |
% |
Elève B :(notes avec effectifs) Elève C :(avec intervalles)
Elève D :
1. pour chaque élève :
(a) Population de l’étude statistique? :
(b) Variable étudiée sur cette population? :
(c) Nature de la variable étudiée? :
(qualitative, quantitative, continue ou discrète)
2. Pour chaque élève, déterminer les indicateurs statistiques suivants en détaillant les calculséventuels ou les tracés graphiques
Elève |
A |
B |
C |
D |
N effectif total |
||||
Mode ou classe modale |
||||
xmin |
||||
xmax |
||||
e = étendue |
||||
m = moyenne |
||||
Médiane Me |
||||
Q1 1er Quartile |
||||
Q2 2nd Quartile |
||||
Q3 3e Quartile |
3 |
|||
Q3 − Q1 Inter-Quartiles |
. classer les élèves (meilleurs résultats, plus régulier) en fonction des indicateurs que vous choisirez (moyenne, médiane, ) et faire un commentaire
4. retrouver les résultats du tableau en utilisant les fonctions statistiques de la calculatrice
Partie Cours Résumé SP
STATISTIQUES
Médiane, quartiles et déciles; Diagrammes en boîtes
Dans ce chapitre, on suppose qu'on dispose d'une série ordonnée: les valeurs ont été rangées dans l'ordre croissant, de la plus petite à la plus grande.
Médiane
La médiane sépare une série statistique en deux groupes de même effectif, l'un contient les valeurs les plus petites et l'autre les valeurs les plus grandes.
Comment déterminer la médiane d'une série de N valeurs si N est pair:
- on vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant
- on prend la moyenne des deux valeurs situées au milieu: pour cela on calcule l'entier n = N:2, et on calcule la moyenne entre la nième et la (n+1)ème valeur
Exemple
Prenons les valeurs (notes à un DS, vitesses de vents, ) rangées dans l'ordre croissant :
1-3-3-3-5-5-6-7-7-8-8-8-9-9-10-10-10-10-11-11-12-13-13-13-14-15-16-19
Il y a N = 28 valeurs; N:2 = 14; les deux valeurs du milieu sont la 14ème et la 15 ème qui sont 9 et 10 ; la médiane est la moyenne entre la 14ème et le 15ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant, cad Me = 9,5
Comment déterminer la médiane d'une série de N valeurs si N est impair:
- on vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant
- on prend la valeur située au centre de la série: pour cela on calcule le décimal N : 2 , sa partie entière n est l'effectif des deux sous groupes encadrant la médiane, la médiane est donc la (n+1)ème valeur
Exemple
Prenons les valeurs (notes à un DS, vitesses de vents, ) rangées dans l'ordre croissant :
3-5-5-6-7-8-8-9-9-10-10-10-10-11-11-12-13-13-13-14-15-16-19
Il y a N = 23 valeurs; N:2 = 11,5, la médiane est la 12ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant, cad Me = 10
Comment interpréter une médiane donnée?
si on connait la médiane d'une série, que peut-on en déduire?
Au moins la moitié (50%) des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane.
Au moins la moitié (50%) des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.
Exemple: dans une classe, la médiane des notes à un contrôle est 11. On peut dire que: au moins la moitié des élèves a une note inférieure ou égale à 11 au moins la moitié des élèves a pour note 11 ou moins de 11
au moins la moitié des élèves a une note supérieure ou égale à 11 au moins la moitié des élèves pour note 11 ou plus de 11
Quartiles
Les quartiles permettent de séparer une série statistique en quatre groupes de même effectif (à une unité près).
Un quart des valeurs sont inférieures au premier quartile Q1.
Un quart des valeurs sont supérieures au troisième quartile Q3.
On appelle intervalle interquartile l'intervalle ]Q1; Q3[.
On appelle écart interquartile la différence Q3 – Q1.
Comment déterminer les quartiles Q1 et Q3 d'une série de N valeurs ?
on calcule la quantité ¼ de N = ×N =N:4
Deux cas sont possibles: soit le résultat est entier (la division tombe juste), soit non
cas n°1: le résultat est entier (la division tombe juste) - on vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant
- Q1 est la nème valeur où n = N:4
- Q3 est le n' ème valeur où l'entier n' = ¾ de N = ×N = 3×N:4
Exemple
Prenons les valeurs rangées dans l'ordre croissant :
1-3-3-3-5-5-6-7-7-8-8-8-9-9-10-10-10-10-11-11-12-13-13-13-14-15-16-19 Il y a N = 28 valeurs, qui est divisible par 4 car 28:4=7 qui est entier
n=N:4 = 7 donc Q1 = la 7ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant= 6 et n' = 3N:4 = 21 donc Q3 = la 21ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant= 13
cas n°2: le résultat n'est pas entier
- on vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant
- on arrondit le décimal N:4 à l'entier supérieur : l'entier n ; Q1 est la nème valeur
- on arrondit le décimal ¾ de N = ×N = 3N:4 à l'entier supérieur : l'entier n' ; Q3 est la n' ème valeur
Exemple
Prenons les valeurs rangées dans l'ordre croissant :
3-5-5-6-7-8-8-9-9-10-10-10-10-11-11-12-13-13-13-14-15-16-19
Il y a N = 23 valeurs;
N:4 = 5,75 donc Q1 est la 6ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant donc Q1= 8, 3N:4 = 17,25 donc Q3 est la 18 ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant donc Q3= 13
Comment interpréter des quartiles donnés?
si on connait les quartiles Q1 et Q3 d'une série, que peut-on en déduire?
Au moins un quart (25%) des valeurs sont inférieures ou égales à Q1.
Au moins trois quarts (75%) des valeurs sont inférieures ou égales à Q3.
Environ la moitié des valeurs se trouvent dans l'intervalle interquartile [Q1 ; Q3].
Exemple: dans une classe, les notes présentent un premier quartile Q1 égal à 10 et un troisième quartile égal à 14. On peut dire que: au moins un quart des élèves a une note inférieure ou égale à 10 au moins un quart des élèves a pour note 10 ou moins de 10
En pratique: environ un quart des élèves a moins de 10, (et environ trois quarts des élèves ont plus)
au moins trois quarts des élèves a une note inférieure ou égale à 14 au moins trois quarts des élèves a pour note 14 ou plus de 14
En pratique: environ trois quarts des élèves a moins de 14, (et environ un quart des élèves ont plus)
L'intervalle interquartile est l'intervalle ]10 ; 14[.
Environ la moitié des élèves a une note entre 10 et 14
Diagramme en boites
La médiane comme paramètre de position et l'intervalle interquartile comme paramètre de dispersion fournissent une bonne description d'une série statistique.
On utilise ces deux données pour construire un diagramme en boîte de la série
Soit une série de valeurs qui se résume en:
- le minimum Min = 1
- le 1er quartile Q1 = 6
- la médiane Me = 9,5
- le 3ème quartile Q3 = 13
- le maximum Max = 19
Ces 5 données permettent de construire un diagramme en boites :
Echelle
0 4 8 12 16 20
DS1
Max
Q1 Me Q3
Déciles
Les déciles permettent de séparer une série statistique en dix groupes de même effectif (à une unité près).
Un dixième des valeurs sont inférieures au premier décile D1.
Un dixième des valeurs sont supérieures au neuvième décile D9.
Comment déterminer les déciles D1 et D9 d'une série de N valeurs ?
On calcule la quantité de N = ×N =N:10 Deux cas sont possibles: soit le résultat est entier (la division tombe juste), soit non
cas n°1: le résultat est entier (la division tombe juste) - on vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant
- D1 est la nème valeur où n = N:10
- D9 est le n' ème valeur où l'entier n' = de N = ×N = 9×N:10
Exemple
Prenons les valeurs rangées dans l'ordre croissant :
1-3-3-3-5-5-6-7-7-8-8-8-9-9-10-10-10-10-11-11-12-12-13-13-13-13-14-15-16-19
Il y a N = 30 valeurs, qui est divisible par 10 car 30:10=3 qui est entier n=N:10 = 3 donc D1 est la 3ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant donc D1 = 3= et n' = 9N:10 = 27 donc D9 est la 27ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant donc D9= 14
cas n°2: le résultat n'est pas entier
- on vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant
- on arrondit le décimal N:10 à l'entier supérieur : l'entier n ; D1 est la nème valeur
- on arrondit le décimal de N = ×N = 9×N:10 à l'entier supérieur : l'entier n' ; D9 est la n' ème valeur
Exemple
Prenons les valeurs rangées dans l'ordre croissant :
3-5-5-6-7-8-8-9-9-10-10-10-10-11-11-12-13-13-13-14-15-16-19
Il y a N = 23 valeurs;
N:10 = 2,3 donc D1 est la 3ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant donc D1= 5 9N:10 = 20,7 donc D9 est la 21 ème valeur de la série rangée dans l'ordre croissant donc D9= 15
Comment interpréter des déciles donnés?
si on connait les déciles D1 et D9 d'une série, que peut-on en déduire? Au moins un dixième (10%) des valeurs sont inférieures ou égales à D1. En pratique: environ 10% des valeurs sont inférieurs à D1
Au moins neuf dixièmes (90%) des valeurs sont inférieures ou égales à Q3. En pratique: environ 10% des valeurs sont supérieurs à D9
Diagramme en boites
On remplace parfois les extrémités des pattes du diagramme en boîte par D1 et D9, comme dans l'EXERCICE 1 sur la mesure des vents
On rajoute alors parfois un petit rond pour le min et un petit rond pour le max, comme dans l'EXERCICE 2 sur la pluviométrie
Correction EXERCICE 2 sur la pluviométrie :
Partie A
1. m = 859,2 mm/m²
2. 38:2=19 donc la médiane est la demi-somme des 19ème et 20ème valeurs: Me
=(1099,8+1101,0)/2 = 1100,4
38:4 = 9,5 donc Q1 = la 10ème valeur = 1029,7 38:4*3 = 28,5 donc Q3 = la 29 ème valeur = 1233,3
3. les extrémités des pattes sont D1 et D9.
Or 38:10= 3,8 donc D1 = la 4ème valeur = 972,5 et 38:10*9 = 34,2 donc D9 = la 35ème valeur = 1313,4
les « petits ronds » sont le min=782 et le max=1603,6
PartieB
1. L'écart interquartile le plus faible est à Dinard avec Q3-Q1 = 157,2
2. Lorient satisfait la condition puisque la médiane est 919,2, ce qui signifie que au moins la moitié des années ont eu une pluviosité supérieure ou égale à 919,2.
De même pour Montélimar et Brest
3. au moins un quart des années ont connu une pluviométrie inférieure ou égale à 447 mm/m²
4. a. Les deux villes ayant la pluviométrie la plus irrégulière sont Montélimar et Nice, puisque leurs boîtes sont les plus étendues. La région de ces deux villes est la Provence.
4. b. on peut comparer les étendues (écart entre le min et e max) ou les écarts interquartiles ou encore les écarts-types. Ce qui rejoint le résultat précédent.