Cours électronique de puissance solénoïde infini
Cours électronique de puissance solénoïde infini
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Chapitre 2Puissances électriques en régime sinusoïdal
1- Puissances
- Puissance instantanée Soit un dipôle quelconque :
A l’intant t : p(t) = u(t)i(t) [W] = [V][A]
- Puissance “active” P (en watt)
La puissance active est la valeur moyenne de la puissance instantanée :
P = <p(t)>
Pour un dipôle linéaire en régime sinusoïdal :
P = Ueff Ieff cos ?
Ueff : valeur efficace de la tension (en V)
Ieff : “ “ du courant (en A)
? : déphasage entre la tension et le courant (?u/i)
- Puissance “réactive” Q (en var : voltampère réactif)Pour un dipôle linéaire en régime sinusoïdal :
Q = Ueff Ieff sin ?
- Puissance “apparente” S (en VA : voltampère)
S = Ueff Ieff
Remarque : S est positive.
- Relation entre les puissances
P cos ?=
S Q sin ?=
S Q tan ?=
Pcos²? + sin²? = 1 :
S = P² +Q²
En résumé : triangle des puissances
- Puissances consommées par les dipôles passifs élémentaires (en convention récepteur)
- résistance R (en ?) déphasage nul : ? = 0
P = UI cos ? = UI
Loi d’Ohm : U = RI
P = RI² (loi de Joule)
Q = UI sin ? = 0 var
Une résistance ne consomme pas de puissance réactive.
- bobine parfaite d’inductance L (en henry)
? = +90°
P = 0 W
La bobine ne consomme pas de puissance active.
Q = UI sin ? = UI
Loi d’Ohm : U = ZI avec : Z = L?
Q = +L?I² > 0
La bobine consomme de la puissance réactive.
- condensateur parfait de capacité C (en farad)
? = -90°
P = 0 W
Le condensateur ne consomme pas de puissance active.
Q = -UI
Impédance : Z = 1/(C?)
Q = -I²/(C?) < 0
Le condensateur est un générateur de puissance réactive.
2- Vecteurs de Fresnel et puissances
P = U?I
Q = U?I'
S = U I
3- Nombres complexes et puissances
- Puissance apparente complexe : S = U I*
U = (U, ?u) : nombre complexe associé à la tension
I = (I, ?i) “ “ au courant
I* désigne le conjugué de I
S = U I* = (UI, ?u - ?i) = (S, ?)
S est le module de S
P est la partie réelle de S
Q est la partie imaginaire de S
En définitive : S = P + jQ
- Application : puissances des dipôles passifs linéaires
En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance complexe :
Z= R + jX
Avec :
- R la résistance (en ?)
- X la réactance (en ?)
On montre que :
S = Z I² = U² / Z
P = R I² : Loi de Joule Q = X I²
Remarque : Q et X ont le même signe.On peut donc classer les dipôles en trois catégories :
X = 0 Q = 0 : dipôle résistif (? = 0°)
X > 0 Q > 0 : dipôle inductif (0° < ? < +90°)
X < 0 Q < 0 : dipôle capacitif (-90° < ? < 0°)
- Cas particulier des dipôles passifs élémentaires
Tableau 1
Impédance complexe Résistance Réactance P Q S
Dipôle passif linéaire Z = R + jX R X RI² XI² ZI²
= U²/Z
Résistance parfaite R R 0 RI² 0 RI² = U²/R
Bobine
parfaite +jL? 0 +L? 0 +L?I²
=+U²/(L?) L?I² = U²/(L?)
Condensateur
parfait -j/(C?) 0 -1/(C?) 0 -I²/(C?) = -U²C? I²/(C?)
= U²C?
4- Théorème de Boucherot
Considérons l’association suivante :
Le dipôle Di consomme les puissances :
- active Pi
- et réactive Qi
L’association consomme les puissances active P et réactive Q.
Le théorème de Boucherot traduit la conservation de l'énergie :
P =?Pi
i Q =?Qi
A.N.
Ampoule : P1 = 100 W Q1 ? 0 (dipôle résistif)
Radiateur : P2 = 1500 W Q 0 (dipôle résistif) Aspirateur (moteur universel) :
P3 = 1250 W Q3 = +900 vars (dipôle inductif)
L'installation consomme donc :
P = 2,85 kW
Q = +0,9 kvar
Attention : le théorème de Boucherot ne s'applique pas à la puissance apparente.
S??Si
i
Il faut utiliser la relation :
S = P²+Q²
A.N. S = 2,99 kVA
d'où :
P puissance active k = = S puissance apparente
I = S / U =13,0 A cos ? = P / S = 0,95 5- Facteur de puissance Définition :
Pour un dipôle linéaire en régime sinusoïdal :
k = cos ?
A noter que : |k| ? 1
- dipôle résistif : k = cos 0 = 1 - bobine ou condensateur parfait : k = 0
- A.N. Pour l’aspirateur précédent :
P3 1250
cos ?3 = == 0,81
S3 1250² +900²
0,8 est l'ordre de grandeur du facteur de puissance d'un moteur alternatif en charge.
.. … ….
Pratique
Energie magnétique stockée dans une bobine :
Une bobine de longueur l , de rayon a et d’axe (Oz), est constituée par un enroulement de n spires circulaires jointives par unité de longueur. On utilisera pour l’étude qui suit l’approximation du solénoïde infini et on se place dans l’ARQS.
1) Déterminer le champ magnétique créé par la bobine parcourue par le courant I.
2) Quelle est l’énergie magnétique de la bobine ? En déduire la valeur de l’inductance L de la bobine.
3) La bobine est placée dans un circuit série avec une résistance R et un générateur de fém constante U0. Déterminer l’expression I(t) du courant dans la bobine en fonction du temps.
4) Calculer les champs magnétique et électrique créés par la bobine en tout point à l’instant t.
5) Déterminer les densités volumiques d’énergies magnétique et électrique. Que peut-on dire du rapport de ces deux énergies ? Conclure.
6) Quelle est l’expression du flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant le volume de la bobine ? Commentaires.
Lévitation électromagnétique :
Un long solénoïde vertical (semi - infini) à section circulaire (de rayon a et possédant n spires jointives par unité de longueur) est parcouru par un courant d’intensité i i t 1 = ,1 m cosω . Une bobine circulaire constituée de N spires de rayon b << a, de résistance R, d’inductance L et de masse m, est placée au-dessus du solénoïde à une distance z de son extrémité. On repère la position de la bobine par l’angle θ.
- Calculer la force magnétique moyenne F appliquée à la bobine. Pour quelle valeur i01m de i1m la spire peut-elle léviter, juste au-dessus du solénoïde, à la cote z ? L’équilibre est-il stable ?
- Quelle est alors la puissance P0 dissipée par effet Joule dans la bobine ?
Effet de peau dans un conducteur ohmique plongé dans un solénoïde :
Un solénoïde cylindrique d'axe (O,z) de rayon r0 comportant n spires par mètre est parcouru par un courant variable dont l’intensité est i(t) = I cos (ωt). On admet que le champ magnétique propre créé par le solénoïde est uniforme à l’intérieur (r < r0) r B = µ0 ni(t) r u z , nul à l’extérieur (r > r0) et que le champ électrique est orthoradial r E = E r, t ( ) r u θ .
- Déterminer le champ électrique r E à l’intérieur du solénoïde.
- On place un cylindre massif long de conductivité γ, de hauteur h et de rayon r1 < r0 à l’intérieur du solénoïde. Déterminer la densité de courant r j créée par le champ électrique r E . Quel est l’effet observable associé à ces courants ?
- En déduire le champ magnétique r B i créé sur l’axe par les courants et donner la condition sous laquelle ce champ (appelé champ induit) est négligeable devant celui créé par le solénoïde.
- Si cette condition n'est pas vérifiée, indiquer sans justification la répartition des courants dans le cylindre.