Cours mathematiques financieres : interet simple
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Cours mathématiques financières : interet simple
Intérêt simple
Lorsque la durée d’un placement est courte (en général moins d’une année), on calcule un intérêt simple. Celui-ci est directement proportionnel au capital placé, à la durée du placement et au taux d’intérêt.
L’intérêt simple ne tient donc pas compte de la capitalisation des intérêts, contrairement à l’intérêt composé qu’on utilise lors de placement à plus longue échéance (plus d’une année).
On définit
C | capital initial ou valeur actuelle, | |||
CN | capital final ou valeur acquise après n périodes, | |||
t% | t | taux par période, exprimé en pourcent, | ||
i = | 100 | taux par période, exprimé en code décimal, | ||
n | durée du placement, en nombre de périodes. | |||
Le montant de l’intérêt simple I rapporté par le placement d’un capital C durant n périodes à un taux périodique de t% est donné par
…
Sans autre précision, le taux d’intérêt est annuel. Pour le calcul de la durée de placement n, on utilise l’année commerciale qui compte 360 jours répartis en 12 mois de 30 jours.
1.1 Exercices
Exercice 1 A partir de la relation (1), calculer les valeurs de C, i et n.
Rép : C | = 1 + i · n ;i= | n · C | = n · C | ; n = | i · C | = i · C | ) | ||||
CN | CN − C | I | CN − C | I | |||||||
Exercice 2 Quel montant faut-il placer aujourd’hui au taux annuel simple de 3% pour obtenir
un capital de 5’000 francs dans 120 jours ? | (Rép : 4950.50 francs) | |
Exercice 3 | On place 5’000 francs pendant 90 jours et l’on obtient 5’050 francs. Quel est le taux | |
d’intérêt ? | (Rép : 4%) | |
Exercice 4 | On place 5’000 francs au taux annuel simple de 3.35% et l’on obtient 5’110 francs. | |
Quelle est la durée du placement en jours ? | (Rép : 237 jours) | |
Exercice 5 | On place 5’000 francs au taux annuel simple de 3% pendant 45 jours. Quel est le | |
montant des intérêts obtenus ? | (Rép : 18.75 francs) |
2 INTÉRÊT COMPOSÉ
- Intérêt composé
Lorsque la durée d’un placement est longue (en général plus d’une année), on calcule un intérêt composé. L’intérêt est calculé non seulement sur le capital initial, mais également sur les intérêts rapportés au fur et à mesure du placement.
Soit C un capital initial et i le taux d’intérêt pour une période de capitalisation, c’est-à-dire la période au bout de laquelle les intérêts sont ajoutés au capital (le plus souvent une année). Après une période de placement, les intérêts s’élèvent à C i. Ainsi le capital C1 acquis après une période s’élève à
C1 = C + C i = C (1 + i)
Pour la deuxième période de placement, les intérêts sont calculés sur le capital C1. Il s’élèvent donc à C1 i. Ainsi le capital C2 acquis après la deuxième période de placement vaut
C2 = C1 + C1 i = C1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2
En répétant le raisonnement par itérations successives, il vient que le capital CN accumulé après n périodes de placement vaut
CN = C (1 + i)N | (2) |
où C est le capital initial, i le taux d’intérêt par période de capitalisation et n le nombre de période de capitalisation.
Définitions : valeur future et valeur actuelle
On appelle valeur future (ou valeur cumulée) d’un capital la valeur CN (ou C(n)) obtenue en plaçant ce capital à un taux périodique fixe pour n périodes.
On appelle valeur actuelle d’une somme CN payable dans n périodes le capital C qu’il faut placer à un taux périodique fixe pendant n périodes pour accumuler la somme CN.
Remarques
Si un capital est retiré au cours d’une période de placement, la somme finale peut être calculée de deux façons :
- en utilisant la formule (2) des intérêts composés avec une valeur de n non entière (approche théorique des mathématiques financières),
- en utilisant la formule (1) des intérêts simples, puisque la période de capitalisation n’est pas échue (pratique bancaire en usage).
Exemple 1
On place un capital de 25’800 francs à un taux d’intérêt annuel de 7.5%.
- Déterminer un modèle mathématique décrivant la valeur du capital après n années.
- Quelle est la valeur du capital après 6 ans ?
- Quelle est la valeur acquise après 15 ans et 3 mois selon la pratique bancaire ?
…
2.1 Taux nominal, taux périodique, taux réel
Exemple 2
A quel taux faut-il placer un capital de 10’000 francs pour obtenir une somme de 16’771 francs 6 ans plus tard ?
Solution
Sans autre précision, il s’agit d’un taux i capitalisé annuellement. On veut donc que
…
Exemple 3
Un capital placé il y a 10 ans à 5.25% vaut 32’000 francs aujourd’hui. Quel était le capital initial ?
Solution
On cherche un capital initial C tel que C · (1 + 0.0525)10 = 32′000 d’où
C = | 32′000 | ′ |
= 19 183.55 | ||
10 | ||
1.0525 |
Le capital initial était de 19’183.55 francs
Exemple 4
Pendant combien de temps doit-on placer un capital de 8’000 francs à un taux semestriel de 3.5% pour doubler ce capital ?
Solution
La valeur actuelle est de 8’000 francs, la valeur future est de 16’000 francs et le taux de 0.035 est semestriel. On a
16′000 = 8′000 (1 + 0.035)N d’où | 2 = 1.035N | ||
En prenant le logarithme des deux membres de l’égalité, il vient | |||
ln(1.035N ) = ln(2) c’est-à-dire n ln(1.035) = ln(2) | d’où n = | ln(2) | = 20.15... |
ln(1.035) |
Il faut donc placer le montant pendant 20.15 semestres (approche théorique mathématique), soit 20 semestres et 0.15 · 180 = 27 jours.
Selon la pratique bancaire, on doit calculer C20 = 8′000 · 1.03520 = 15′918.31, puis déterminer le
1 + m · | .035 | = 16′000. | |||||
nombre de jours m tel que 15′918.31 | |||||||
180 | |||||||
On trouve m = | 16′000 | − 1 · | 180 | = 26.39, c’est-à-dire aussi 27 jours. | |||
15′918.31 | 0.035 | ||||||
2.1 Taux nominal, taux périodique, taux réel
Dans les exemples présentés jusqu’ici, on donnait toujours le taux capitalisé annuellement. En pratique, les institutions financières affichent parfois un taux annuel qui est capitalisé plusieurs fois dans l’année. On parle alors de taux nominal.
Exemple 5
Vous voulez placer un montant de 2’000 francs et vous avez consulté trois banques. La première banque B1 offre un taux annuel de 9%, capitalisé annuellement. La seconde banque B2 offre un taux nominal de 9% capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire que l’intérêt est capitalisé quatre
fois par année au taux de 9%4 = 2.25%. La troisième banque B3 offre un taux nominal de 9%, capitalisé mensuellement, c’est-à-dire que l’intérêt est capitalisé douze fois par année au taux de
9%12 = 0.75%. Quelle institution offre les meilleures conditions ?
Pour la banque B1, il y a une période de capitalisation à un taux de 9%, ce qui donne C(1) = 2′000 1.091 = 2′180 francs, soit un intérêt de 180 francs.
Pour la banque B2, il y a quatre périodes de capitalisation à un taux de 2.25%, ce qui donne C(1) = 2′000 1.02254 = 2′186.17 francs, soit un intérêt de 186.17 francs.
Pour la banque B3, il y a douze périodes de capitalisation à un taux de 0.75%, ce qui donne C(1) = 2′000 1.007512 = 2′187.61 francs, soit un intérêt de 187.61 francs.
Ainsi la banque B3 offre les meilleures conditions.
Définitions : Taux nominal, taux périodique, taux réel et taux équivalents
On appelle taux nominal que l’on note (j; m) un taux annuel j qui est composé m fois par année au taux périodique i = j/m.
On appelle taux périodique le taux i qui s’applique à chaque période de capitalisation.
On appelle taux réel ou taux effectif le taux r réellement payé annuellement. On l’obtient en ramenant le taux périodique à un taux annuel.
Deux taux sont équivalents s’ils correspondent au même taux réel.
Attention : lorsqu’on parle d’un taux j capitalisé semestriellement (par exemple), il s’agit toujours d’un taux nominal (j; 2), qui est équivalent à un taux semestriel i = j/2.
Ainsi, dans l’exemple précédent, la banque B1 propose un taux périodique annuel de 9% qui est le taux réel. La banque B2 propose un taux nominal de (9%, 4). Le taux trimestriel est de 9%/4 = 2.25% et le taux réel r est tel que 1 + r = 1.02254 = 1.0931, c’est-à-dire un taux annuel r égal à 9.31%. La banque B3 propose un taux nominal de (9%, 12). Le taux semestriel est de 9%/12 = 0.75% et le taux réel r = 1.007512 − 1 = 9.38% est le taux annuel équivalent.
2.2 Exercices
Exercice 6 A partir de la relation (2), calculer les valeurs de C, i et n.
Rép : C | = (1 + i)N | ; i = | q | ||||
C − 1 ; | |||||||
CN | N | CN | |||||
n= log(CN ) − log(C)
Exercice 7 On place un capital de 10’000 francs à un taux annuel de 5.25%. Quelle somme aura-t-on accumulé (selon la pratique bancaire) après 5 ans ? 10 ans ? 6 mois ? 11 ans et 8 mois ?
(Rép : 12’915.48 francs, 16’680.96 francs, 10’262.50 francs, 18’171.20 francs)
Exercice 8 Un de vos ancêtres a placé une somme à la banque en l’an 810. Comme un intérêt bancaire de 2% a été capitalisé annuellement jusqu’à aujourd’hui, vous allez recevoir en 2010 une somme de 209’028’794 francs. Quel était le placement de votre ancêtre ? (Rép : 1 centime)
Exercice 9 On place un capital de 100’000 francs à un taux de 12%. Quelle somme aura-t-on selon la pratique bancaire après 6 ans et 3 mois si la capitalisation est annuelle ? semestrielle ?
trimestrielle ? (Rép : 203’303.74 francs, 207’256.24 francs, 209’377.79 francs)
Exercice 10 A quel taux nominal capitalisé semestriellement a-t-on placé un capital de 100’000 francs si l’on obtient un capital de 166’817.25 francs après 8 ans ? (Rép : (6.5% , 2))
Exercice 11 Combien de temps faut-il placer un capital initial de 12’000 francs à un taux nomi-nal de 8% capitalisé semestriellement pour obtenir 527’272.09 francs selon la pratique bancaire ?
(Rép : 48 ans, 2 mois et 20 jours)
Exercice 12 Un capital C est placé à 6% l’an. Après combien d’années entières a-t-il triplé ? a-t-il été multiplié par dix ? Montrer que le temps nécessaire pour centupler le capital est le double du temps nécessaire à le décupler. (Rép : 19 ans , 40 ans)
Exercice 13 Quel est le taux d’intérêt annuel d’un capital qui double en dix ans si la capitali-sation est annuelle ? Et si la capitalisation est semestrielle ? (Rép : 7.18%, 7.05%)
- Annuités
Dans les sections précédentes, nous avons analysé la croissance d’un capital placé en un seul versement pour une durée donnée. Dans la pratique, on constitue plutôt un capital par des versements périodiques qu’on appelle annuités. A l’origine, le terme annuités désignait des ver-sements annuels. C’est devenu un terme générique qui désigne tout paiement périodique. On distingue toutefois les versements mensuels qu’on appelle mensualités.
Définition : annuités, annuités de début de période, annuités de fin de période
On appelle annuités les versements égaux que l’on fait à intervalle régulier pour constituer un capital ou rembourser un emprunt. Les versements permettant de constituer un capital sont appelés annuités de début de période, ceux permettant de rembourser un emprunt annuités de fin de période.
Exemple 6
Vous décidez de constituer un capital en faisant 4 versement semestriels de 500 francs à un taux nominal de 6% capitalisé semestriellement. En complétant le tableau suivant, déterminer l’évolution du capital en tenant compte des versements effectués et de l’intérêt reçu.
On remarque que dans ce cas, la capitalisation coïncide avec les versements. La période est de pour les versements et pour la capitalisation.
…
On constate que les calculs seraient fastidieux si on effectuait un grand nombre de versements. Pour être plus performant dans les calculs, il faut voir le procédé de capitalisation sous un autre angle, en considérant chaque versement comme un capital distinct.
Le premier versement de 500 francs est placé durant 4 périodes à un taux périodique de 3%. Sa valeur à échéance est donc de 500 · 1.034 francs.
Le second versement de 500 francs est placé durant 3 périodes au même taux périodique de 3%. Sa valeur à échéance est de 500 · 1.033 francs.
De même, le troisième versement de 500 francs est placé durant 2 périodes au même taux. Sa valeur à échéance est de 500 · 1.032 francs.
Le dernier versement de 500 francs est placé durant 1 période. Sa valeur à échéance est de 500 · 1.03 francs.
Le capital accumulé est égal à la somme des valeurs à échéance, soit
500 · 1.03 + 500 · 1.032 + 500 · 1.033 + 500 · 1.034 = 2154.56 francs.
La somme à effectuer ci-dessus est une somme de termes qui forment ce qu’on appelle une progression géométrique. Nous allons voir qu’il existe une formule directe pour calculer la somme des n premiers termes d’une progression géométrique.
3.1 Progression géométrique
Une progression géométrique est une suite ordonnée de nombres telle que chaque nombre de la suite, à l’exception du premier, satisfait à la règle de récurrence
aN = aN−1 · r
où aN est le terme de rang n, aN−1 est le terme de rang n − 1 et r est un nombre réel constant appelé raison.
La progression est croissante lorsque r > 1, décroissante lorsque 0 < r < 1 et alternée si r < 0.
Exemple 7
Parmi les suites de nombres
les suites sont des progressions géométriques et les suites sont des progressions arithmétiques (le terme suivant est obtenu du précédant par l’addition de la raison r).
On montre facilement par récurrence (cf exercice 15) que le terme général aN d’une progression géométrique de raison r et de premier terme a1 est donnée par
aN = a1 rN−1 | (3) |
La somme des n premiers termes d’une progression géométrique est donnée par
SN = | a1 | (1 − rN) | (4) | |
1 − r | ||||
On démontre ce résultat dans l’exercice 16.
3.2 Capitalisation par annuités de début de période
Puisque nous allons parler de placements et de remboursements, nous distinguerons la valeur actuelle V A et la valeur cumulée V C d’une suite d’annuités. Par ailleurs, les indices d et f seront utilisés pour indiquer s’il s’agit d’annuités de début de période ou d’annuités de fin de période. Nous noterons donc
V AD la valeur actuelle d’annuités de début de période
V CD la valeur cumulée à l’échéance d’annuités de début de période
V AF la valeur actuelle d’une suite d’annuités de fin de période
V CF la valeur cumulée à l’échéance d’annuités de fin de période
Relevons ici que la valeur cumulée est aussi appelée valeur définitive ou valeur future, selon les auteurs.
Comme le montre le schéma ci-dessous, la valeur cumulée de n annuités de début de période placées à un taux périodique i est égal à la somme des n premiers termes d’une progression géométrique.
…
On a V CD = A(1 + i) + A(1 + i)2 + A(1 + i)3 + · · · + A(1 + i)N.
C’est la somme SN des n premiers termes d’une progression géométrique dont le premier terme
a1 = A(1 + i) et la raison r = 1 + i. Ainsi, en appliquant la formule SN = | a1 | (1 − rN) | |||
, la valeur | |||||
1 − r | |||||
cumulée de n annuités de début de période placées à un taux périodique i vaut | |||||
V CD = | A(1 + i) [(1 + i)N − 1] | (5) | |||
i | |||||
La valeur actuelle V AD d’une suite de versements de début de période est le montant qu’il faudrait placer au début de la première période au même taux i pour obtenir la valeur cumulée V CD après n périodes. On a donc, par définition
V CD = V AD(1 + i)N | (6) |
Exemple 8
Vous désirez constituer un capital en déposant 50 francs par mois à un taux mensuel de 0.6%. Quel est le capital accumulé dans cinq ans ? dans dix ans ? dans quinze ans ?
Solution
On cherche la valeur accumulée par une suite de versements A = 50 francs placés à un taux périodique i = 0.006 pour n = 12 · 5 = 60 périodes (pour 5 ans). En substituant ces valeurs dans la formule (5), la valeur cumulée s’élève à
V CD=50(1 + 0.006) (1 + 0.006)60−1= 3′619.83francs. 0.006
Pour dix ans, n = 12 · 10 = 120 et la valeur cumulée est égale à
V CD=50·1.006 1.006120−1= 8′802.65francs. 0.006
Pour quinze ans, n = 12 · 15 = 180 et la valeur cumulée est égale à
V CD= 50 · 1.006 1.006180 − 1
Exemple 9
Quel montant trimestriel faut-il placer à un taux de trimestriel de 2% pour constituer un capital de 15’000 francs en 10 ans ? Quel est le gain en intérêts ? Quelle est la valeur actuelle de ces annuités ?
Solution
On cherche le montant de l’annuité A sachant que la valeur cumulée V CD = 15′000 francs, le taux périodique i = 0.02 et le nombre de périodes n = 4 · 10 = 40. En substituant ces valeurs dans la formule (5), on a 15′000 = A(1 + 0.02) (1 + 0.02)40 − 1 0.02 et en isolant A, il vient 15′000 · 0.02
A=1.02 [1.0240 −1]= 243.47francs.
On trouve le gain en intérêt en soustrayant le montant total placé avec les versements de la valeur cumulée. Le montant placé est de A · n = 243.47 · 40 = 9′738.80 francs.
Le gain en intérêt est donc de 15’000 - 9’738.80 = 5’261.20 francs.
La valeur actuelle V AD de ces annuités est le montant qu’il faudrait placer au même taux tri-mestriel de 2% pendant la même durée de 40 trimestres pour obtenir un capital de 15’000. Ainsi,
′ | 40 | 15′000 | ′ | |
15 000 = V AD 1.02 | d’où V AD = | = 6 793.36 francs. | ||
40 |
Il faudrait donc placer 6’793.36 francs aux mêmes conditions de taux pour obtenir un capital de 15’000 francs 10 ans plus tard.
3.3 Remboursement par annuités de fin de période
Les annuités de fin de période servent à calculer les versements à effectuer pour rembourser un emprunt, car le versement se fait à la fin de chaque période. Par exemple, si on désire rembourser un emprunt par des versements mensuels, le premier versement est effectué un mois après avoir contracté l’emprunt.
Exemple 10
Vous effectuez un emprunt de 2’000 francs pour trois ans et le taux d’intérêt nominal est de 10% capitalisé semestriellement. Pour la banque, ce prêt constitue un placement qui doit rapporter des intérêts selon le taux en vigueur. La valeur actuelle de l’emprunt V AF = 2′000 francs. La valeur cumulée de ce montant dans trois ans, soit six semestres, sera V CF = 2′000(1.05)6 = 2′680.19 francs. C’est le montant que vous devriez payer si vous remboursiez votre dette en un seul versement dans trois ans. Les intérêts seraient alors de 2’680.19 - 2’000 = 680.19 francs.
Cependant, vous pouvez aussi choisir de rembourser votre dette par annuités réparties sur les trois ans de votre emprunt. Ainsi, votre dette diminue au fur et à mesure de vos versements et vous payez moins d’intérêts.
De son côté, la banque ne perd rien si elle réinvestit dans d’autres affaires et au même taux l’argent que vous lui remboursez.
Si vous décidez de rembourser votre dette en six annuités semestrielles, comment déterminer le montant de ces annuités ?
Dans une annuité de fin de période, il y a une période capitalisation de moins que dans celle de début de période, comme l’illustre la figure suivante.
On a donc la progression géométrique V CF = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + · · · + A(1 + i)N−1. C’est la somme des n premiers termes d’une progression géométrique dont le premier terme a1 = A et la raison r = 1 + i. Ainsi, en appliquant la formule SN = a1(1−rN) , la valeur cumulée 1 – r de n annuités de fin de période placées à un taux périodique i vaut
V CF= A [(1 + i)N − 1] (7) i
Dans l’exemple précédent, le taux semestriel i = 0.05, le nombre de semestres n = 6, et la valeur cumulée V CF = 2′680.19. Ainsi, le montant A des annuités sera défini de sorte que
V CF= 2′680.19 =A(1.05)6−1 0.05
et en isolant A, il vient
A= 2′680.19 · 0.05 = 394.03 (1.05)6 − 1
Le remboursement de l’emprunt de 2’000 francs pourra se faire en six annuités semestrielles de 394.03 francs. Dans ce cas, le montant total des versements sera de 6 · 394.03 = 2′364.18 francs et les intérêts s’élèveront à 2’364.18 - 2’000 = 364.18 francs.
Les annuités de fin de période servent d’une part à couvrir les intérêts de la dette et d’autre part à l’amortir. Les intérêts étant proportionnels à la dette, la part consacrée à l’amortissement augmente à mesure que la dette diminue.
Exemple 11
Une personne emprunte 10’000.- francs au taux de 4% et s’engage à rembourser sa dette par annuité sur 5 ans. Calculer le montant de l’annuité et compléter le tableau suivant.
Année | Valeur de la dette(début d’année) | Intérêt annuel de la dette | Annuité | Amortissement | Solde de la dette(fin de l’année) |
1 | 10’000.- | 400.- | |||
2 | 8’153.75 | ||||
3 | |||||
4 | |||||
5 | 0.- |
Exemple 12
Quel est le montant des versements mensuels qu’il faut effectuer pour rembourser un emprunt de 6’000 francs en cinq ans, sachant que l’intérêt est de 9% capitalisé mensuellement ? Quel est le coût en intérêts ?
Solution
La valeur actuelle de l’emprunt V AF = 6′000 francs, la période est le mois, le taux périodique i = 9%12 = 0.75% et le nombre de périodes en cinq ans est n = 5 · 12 = 60. La valeur cumulée de l’emprunt dans cinq ans est V CF = 5′000(1.0075)60 = 9′394.09 francs. Ainsi, on doit avoir
V CF= 9′394.09 =A1.007560− 1
0.0075
et en isolant A, il vient
A = 9′394.09·0.0075 = 124.55 francs. 1.007560 − 1
Le paiement total s’élèvera à 124.55 · 60 = 7’473 francs.
Le coût en intérêts sera de 7’473 - 6000 = 1’473 francs.
Remarques
- Dans la pratique, le montant d’une annuité de début de période se calcule en général à partir de la valeur future V CD correspondant au capital que l’investisseur souhaite accumuler.
- Le montant d’une annuité de fin de période se calcule à partir de la valeur actuelle V AF qui correspond au montant emprunté. On calcule V CF avec la formule V CF = V AF (1 + i)N, puis le montant de l’annuité avec la formule (7)
V CF= A [(1 + i)N − 1] i
- Que l’on ait affaire à des annuités de début ou de fin de période, la relation entre la valeur cumulée et la valeur actuelle a toujours la forme V C = V A(1 + i)N.
- · 1.05 = 92′492.28 francs.
- = 88′087.88 francs.
3.3 Remboursement par annuités de fin de période
Exemple 13
Vous empruntez 100’000.- au taux annuel de 5% et vous devez rembourser cette dette en 10 annuités. Après avoir versé 6 annuités, vous oubliez de régler la 7ème annuité. De quel montant les 3 dernières annuités devront-elles être majorées afin de rembourser la dette dans le délai initialement prévu ?
Solution
La valeur actuelle de l’emprunt V AF = 100′000 francs, la période est annuel, le taux périodique i = 5% et le nombre de périodes est n = 10. La valeur cumulée de l’emprunt dans dix ans est V CF = 100′000 · 1.0510 = 162′889.46 francs. Ainsi, on doit avoir
A 1.0510 | − 1 | ′ | .46 · 0.05 | ||||
V CF = 100′000 · 1.0510 = | d’oùA = | 162 889 | = 12′950.46 francs. | ||||
10 | |||||||
0.05 | 1.05 | − 1 |
Pour calculer le montant des annuités suite à l’omission du versement de la 7ème annuités, il faut calculer la valeur de la dette à la fin de cette 7ème période. On peut procéder de deux façons :
1ère méthode :
Après 7 périodes, la valeur initiale empruntée a produit des intérêts et vaut 100′000(1.05)7 = 140′710.04 francs.
Dans le même temps, on a versé 6 annuités qui ont permis de cumuler à la fin de la 6ème période la somme de
12′950.46 1.056 − 1
0.05
Cette somme rapporte des intérêts au cours de la 7ème période et vaut à la fin de cette 7ème période
12′950.46 1.056 − 1
0.05
N.B. On peut aussi calculer la valeur cumulée à la fin de la 7ème période et lui soustraire la 7ème annuité qui n’a pas été versée :
12′950.46 1.057−1−12′950.46 = 92′492.28francs. 0.05
Ainsi la valeur de la dette à la fin de la période 7 vaut 140’710.04 - 92’492.28 = 48’217.76 francs.
2ème méthode :
A la fin de la 6ème période, il reste à verser 4 annuités de 12’950.46 francs chacune qui permettent de cumuler
12′950.46 1.054−1= 55′818.09;francs 0.05
à la fin des 10 périodes. Cette somme correspond à une valeur de dette en fin de période 7 de
55′818.09= 48′217.76;francs. 1.053
Cette dette de 48’217.76 francs à la fin de la 7ème période, correspondant à une valeur cumulée de 55′818.09 francs à la fin de la 10ème période, doit désormais être remboursée en 3 annuités A′. On pose donc
A′ | 1.053 | − 1 | ′ | 09 · 0.05 | ||||
55′818.09 = | d’oùA′ = | 55 818. | = 17′706.98 francs. | |||||
3 | ||||||||
0.05 | 1.05 | − 1 |
Ainsi la majoration de l’annuité est de A′ − A = 17′706.98 − 12′950.46 = 4′755.52 francs.
3.4 Exercices
Exercice 14 Trouver les six premiers termes des progressions géométriques suivantes :
a) a1 = 8 et r = 1/2 b) a1 = 1 et r = 2 c) a1 = 37 et r = −1/3
Exercice 15 Montrer par récurrence que le n-ième terme aN d’une progression géométrique s’exprime en fonction du premier terme a1 et de la raison r comme aN = a1 rN−1
Exercice 16 Montrer que la somme des n premiers termes d’une progression géométrique dont
le premier terme est a1 | et la raison r est donnée par SN = | a1 (1 − rN) |
1 − r |
Exercice 17 Calculer la somme des huit premiers termes de la progression géométrique définie
par a1 = 8 et r = 1/2 | (Réponse : | 255 |
16) |
Exercice 18 Calculer la somme des six premiers termes de la progression géométrique définie
par a1 = 42 et a2 = 14 | (Réponse : | 5′096 |
81) |
Exercice 19 Calculer la somme des douze premiers termes de la progression géométrique
1; 1.07; 1.072 ; 1.073; . . .
(Réponse : 17, 88 . . . )
Exercice 20 En prenant les points milieux des côtés d’un carré d’un mètre de côté comme sommets, on construit un deuxième carré inscrit dans le premier. En prenant les points milieux de ce deuxième carré comme sommets, on trace un troisième carré inscrit dans le deuxième, et ainsi de suite.
- Faire un schéma avec les trois premiers carrés ainsi construits.
- Quel est la longueur du côté du septième carré et quelle est son aire ?
- En poursuivant le processus indéfiniment, quelle est la somme des aires de tous les carrés ainsi construits ?
(Réponse : b) côté de | 1 | m, aire de | 1 | m2 | c) 2 m2 ) | |
8 | 64 |
Exercice 21 Trouver la valeur future et la valeur actuelle d’un placement constitué de huit versements annuels de 1’500 francs chacun, sachant que le taux d’intérêt est de 8% capitalisé an-nuellement. Expliquer ce que représentent la valeur future et la valeur actuelle, comparativement au montant total placé par versements. (Rép : V CD = 17′231.34 francs et V AD = 9′309.56 francs)
Exercice 22 Quelle est la valeur du capital constitué par des versements mensuels de 100 francs pendant quinze ans à un taux de 7.5% capitalisé mensuellement ? Quel est le gain en intérêts ?
(Rép : V CD = 33′318.17 francs, gain de 15′318.17 francs)
Exercice 23 Quels versements trimestriels devrez-vous effectuer pour constituer un capital de 10’000 francs en dix ans, le taux étant de 8% capitalisé trimestriellement ? Quel est le gain en intérêts ? (Rép : A = 162.31 francs, gain de 3′507.60 francs)
Exercice 24 Vous devez préparer le contrat de deux clients empruntant chacun 2’000 francs. L’un désire rembourser en deux ans et l’autre en quatre ans. Le taux pour les prêts personnels est de 12% capitalisé mensuellement. Quels sont les versements mensuels que chacun doit effectuer et quel est le coût en intérêts de ces prêts ? (Rép : en deux ans A = 94.15 francs, coût de 259.60 francs, en quatre ans A = 52.67 francs, coût de 528.16 francs )
Exercice 25 Vous versez 100 francs par mois pour rembourser une dette. Le taux est de 14.4% capitalisé mensuellement. Déterminer la valeur actuelle de la dette s’il vous reste quatre ans pour la rembourser. (Rép : V AF = 3′632.72 francs)
Exercice 26 Vous achetez une automobile de 13’500 francs en versant 3’500 francs comptant. Vous empruntez le reste à 12% capitalisé mensuellement, que vous devez rembourser en cinq ans. Quels sont les versements mensuels et le coût de cet emprunt ?
(Rép : A = 222.44 francs, coût de 3′346.40 francs.)
Exercice 27 Vous remboursez actuellement un emprunt par des versements mensuels de 80 francs. Il vous reste dix ans pour rembourser le tout et vous désirez augmenter le montant des annuités afin de vous acquitter de la dette en cinq ans. Quels seront les nouveaux versements sachant que le taux est de 12% capitalisé mensuellement ?
(Rép : V AF = 5′576.04.44 francs, A = 124.04 francs)
Exercice 28 Vous placez 30 francs par semaine à un taux de 7.8% capitalisé annuellement. Dans combien de temps aurez-vous accumulé le montant de 10’000 francs ?
(Rép : 272 semaines, soit 5 ans et 12 semaines)
Exercice 29 Vous avez emprunté 50’000.- au taux de 5% que vous devez remboursez en 15 ans. A la fin de la 10ème année, vous convertissez votre emprunt au taux de 4%. L’annuité est alors recalculée. Calculer l’économie annuelle des 5 dernières années.
(Rép : A1 = 4′817.10 et A2 = 4′684.71. Économie annuelle = 132.39 francs)
Exercice 30 Vous avez effectué 10 versements annuels de 2’000.- francs, le premier il y a 17 ans ; le taux a été de 4% les 6 premières années et de 5% par la suite. De quelle somme disposerez-vous dans une année ? (Rép : 38′149.53 francs)
Exercice 31 M. Dupont décide de se constituer un 3ème pilier en versant 15 annuités de 1’000.-francs au taux de 5%. Il effectue son premier versement le 31 décembre 2000. Pour des raisons financières, M. Dupont est dans l’incapacité de verser les 6ème et 7ème annuités.
De quelle somme disposera-t-il une année après son dernier versement, sachant que le taux a augmenté de 1% le 1er janvier 2011. (Rép : 20′314.41 francs)
Exercice 32 M. Durand emprunte 40’000.- francs aujourd’hui au taux de 6.5%. Son contrat